Đề thi chọn HSG

PHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ
Ví dụ 1: Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:

𝑥
2−
𝑦
2=1998

𝑥
2+
𝑦
2=1999
Giải
Dễ chứng minh
𝑥
2,
𝑦
2 chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên

𝑥
2−
𝑦
2 chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

𝑥
2,
𝑦
2 chia cho 4 có số dư là 0, 1 nên
𝑥
2+
𝑦
2 chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
9𝑥+2=
𝑦
2+𝑦
Giải
Biến đổi phương trình: 9𝑥+2= 𝑦(𝑦+1)
Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên 𝑦(𝑦+1) chia hết cho 3 dư 2.
Chỉ có thể: 𝑦=3𝑘+1, 𝑦+1=3𝑘+2 𝑣ớ𝑖 𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛
Khi đó: 9𝑥+2
3𝑘+1
3𝑘+2

⟺9𝑥=9𝑘
𝑘+1

⟺𝑥=𝑘
𝑘+1

Thử lại: 𝑥=𝑘
𝑘+1, 𝑦=3𝑘+1 thỏa mãn phương trình đã cho.
Đáp số:
𝑥=𝑘
𝑘+1
𝑦=3𝑘+1 với 𝑘 là số nguyên tùy ý.


PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG
Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các phương trình, vế phải là tổng của các số chính phương.
Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

𝑥
2
𝑦
2−𝑥−𝑦=8 (1)
Giải
(1
4𝑥
2+4
𝑦
2−4𝑥−4𝑦=32

4
𝑥
2+4𝑥+1
4
𝑦
2−4𝑦+1=34

2𝑥−1
2
2𝑦−1
2
3
2
5
2

Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có một dạng phân tích thành tổng của hai số chính phương
3
2,
5
2. Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng:

2𝑥−1=3
2𝑦−1=5 hoặc
2𝑥−1=5
2𝑦−1=3
Giải các hệ trên suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là:
2;3,
3;2, −1;−2, (−2;−1


PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC
Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức …
1. Phương pháp sắp xếp thứ tự các ẩn:
Ví dụ 1: Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.
Giải
Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Ta có:                        x + y + z = xyz     (1)
Cách 1: Chú ý rằng các ẩn x, y, z có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn, chẳng hạn: 1 ≤ x ≤ y ≤ z
Do đó: xyz = x + y + z ≤
Chia hai vế của bất đẳng thức xyz ≤ cho số dương z ta được: xy ≤ 3
Do đó xy ∈ {1; 2; 3}
Với xy = 1, ta có x = 1, y = 1. Thay vào (1) được 2 + z = z (loại)
Với xy = 2, ta có x = 1, y = 2.  Thay vào (1) được z = 3
Với xy = 3, ta có x = 1, y = 3.  Thay vào (1) được z = 2 (loại vì y ≤ z)
Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3.
Cách 2: Chia hai vế của (1) cho xyz ≠ 0 được:                      
1
yz +
1
xz +
1 xy = 1
Giả sử x ≥ y ≥ z