Đề thi chọn HSG

TRƯỜNG TH&THCS SƠN LỄ
Đề thi chính thức


ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI.
Câu 1 (5,0 điểm): Cho biểu thức A =

a) Tìm ĐKXĐ; Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng: Với mọi x ( Q thì giá trị của đa thức:
M =
là bình phương của một số hữu tỉ.
b) Giải phương trình

Câu 3: (4,0 điểm)
a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b) Cho
và
. Chứng minh rằng:
.
Bài 4 (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a) Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b) Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
Câu 5 (2,0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức:







HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN: Toán 8
Câu
Đáp án
Điểm

1
a/ A =
=

=

b/ Với mọi x ≠ - 1 thì A =
=

Vì

2,0





2,0

2
a/ Ta có: M =

Đặt a = x2 + 10x + 16
suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = (a+ 4)2
M = ( x2 + 10x + 20 )2 (đpcm)
b/










1,0

1,0


1,0

1,0


3
a/ 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0

(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0

9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
Do:

Nên: (*)
x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x, y, z) = (1, 3, -1).
2,0


b/ Từ:


ayz + bxz + cxy = 0 Ta có:






2,0

4


0,5



a/ Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang
Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân
1,0
1,0


b/ (2,0 điểm)Tính được AD =
; BD = 2AD =

AM =

Tính được NI = AM =

1,0


0,5

DC = BC =
, MN =


0,5

Tính được AI =

0,5


2,0













5
 Áp dụng BĐT: x2 + y2
2xy, Dấu bằng xẩy ra khi x = y

;
;

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có




2,0