Đề thi chọn HSG

PHÒNG GD&ĐT



(Gồm có 01 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán - Lớp 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi


Câu 1. (4 điểm)
Cho biểu thức :

Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
Tìm giá trị của x để A > 0?
Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 2. (4 điểm)
a) Chứng minh rằng
f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1
b) Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị.
Câu 3. (4 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

b) Giải các phương trình sau:

Câu 4. (6 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
a) Tính tổng

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng:
.
Câu 5. (2 điểm)
Cho
là ba số dương thoả mãn
. Chứng minh rằng :

.

------------------------------- HẾT --------------------------------

Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báo danh: ............



PHÒNG GD&ĐT

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán - Lớp 8
Câu
Nội dung
Điểm














1
(4,0đ)
a) ĐKXĐ :









Vậy với
thì
.




0.5đ


0.5đ


0.25đ


0.5đ

0.25đ


b) Với





Vậy với x > 3 thì A > 0.
0.5đ



0.5đ




c)



Với x = 11 thì A =



0.25đ


0.25đ

0.5đ











2
(4,0đ)

a) Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + ... + x11 – x + 1 – 1 = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + ....+ x(x10 – 1) chia hết cho x10 – 1
Mà x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 +...+ x + 1) chia hết cho x9 + x8 + x7 +...+ x + 1
Suy ra f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 +...+ x + 1
Nên f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x+ x7 + ....+ x + 1

b) Đặt
ta có
và k
N, 32
k < 100
Suy ra : 101
= k2 – 100 = (k – 10)(k + 10)

k + 10
101 hoặc k – 10
101
Mà (k – 10; 101) = 1
k + 10
101
Vì 32
k < 100 nên 42
k + 10 < 110
k + 10 = 101
k =91


= 912 = 8281


0.5đ


0.5đ

0.5đ



0.5đ


0.5đ

0.5đ

0.5đ


0.5đ








3
(4,0đ)
a)



Do
bị loại, xét ba khả năng:





loại
Vậy phương trình có 4 nghiệm. (26;13), (29;12), (19;12), (22;5)


0.75đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ


b) x2+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ;
x2+13x+