Đề thi chọn HSG

PHÒNG GD& ĐT QUẢNG TRẠCH
TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Môn: Toán
Năm học 2018-2019
Thời gian: 120 phút(không kể thời gian giao đề)



Bài 1 (2,0 điểm).
Cho biểu thức :

với
.
a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tính giá trị của biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức:

.
Bài 2 (2,0 điểm). Giải các phương trình sau:
a.)
. b.

Câu 3. (3,5 điểm)Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho
(I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi N là giao điểm của AM và CD, K là giao điểm của OM và BN.
a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.
b) Chứng minh
.
c) Chứng minh

Câu 4. (1,5 điểm) Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3.
Chứng minh rằng:
.
Bài 5 (1,0 điểm). Cho số tự nhiên n ( 3. Chứng minh rằng nếu 2n ( 10a ( b (a, b 0 ( b ( 10) thì tích ab chia hết cho 6.

Họ và tên thí sinh: ………………………. ........... Số báo danh................................................. .















PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH HƯỚNG DẪN CHẤM
TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2018 -2019
Môn:Toán
Lớp: 8


Bài
Nội dung
Điểm

Bài 1 (2,0đ)

 Với
ta có:
P =





a
(1.0)
=
-
.

=
+
.

=
+
=


0.25

0.25

0.25
0.25

b
(1.0)
Ta có:



Lập luận suy ra

Ta thấy x = 1; y = -3 thỏa mãn điều kiện:

nên thay x = 1; y =- 3 vào biểu thức P =

ta có: P=



0.25

0.25

0.25


0.25

Bài2
(2,0đ )
a
(1.0)

ĐK:



Vậy phương trình có một nghiệm x = 0

0.25


0.25


0.25


0.25

b
(1.0)














0.25





0.25



0.25
0.25

Câu 3
(3.5)



a
(1.0)









0.5




Xét
và
có:


( tính chất đường chéo hình vuông)
BO = CO ( tính chất đường chéo hình vuông)

( cùng phụ với
)


=
(g.c.g)

0.5





mà

Do đó

0.5


b
(1.0)

Ta có
=
(cmt)

CM = BI ( cặp cạnh tương ứng)
BM = AI
Vì CN // AB nên
. Từ đó suy ra IM // BN
0.5


Ta có OI = OM ( vì
=
)

cân tại O


Vì IM // BN



0.5

c
(1.0)
Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E.
Chứng minh

0.25


Ta có
vuông tại A có AD
NE nên



0.25


Áp dụng định lí Pitago vào
ta có AN2 + AE2 = NE2


0.25


Mà
và CD = AD


0.25

Câu 4
(1.5)
Do a, b > 0 và 1 + b2 ≥ 2b với mọi b nên
.
Tương tự ta có :
;

mà a + b + c = 3 nên
(1)
Cũng từ a + b + c = 3 ( (a + b + c)2 = 9
( a2 + b2 + c2 + 2