Đề thi chọn HSG

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI : TOÁN 8
Ngày thi: 12/4/2014
Thời gian làm bài: 120 phút.


Câu 1: (4 điểm).
Cho biểu thức:

Rút gọn biểu thức A
Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
Câu 2: (4 điểm).
Chứng minh rằng A =
với
.
Cho P = n4 + 4. T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn n ®Ó P lµ sè nguyªn tè.
Câu 3: (4 điểm).
a) Giải phương trình :

b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
A =

Câu 4: (6 điểm).
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB . Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt By tại D. Từ O hạ đường vuông góc OM xuống CD (M thuộc CD)
a) Chứng minh OA2 = AC.BD
b) Chứng minh tam giác AMB vuông
c) Gọi N là giao điểm của BC và AD . Chứng minh MN//AC
Câu 5: (2 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng:
.



Họ và tên thí sinh:.............................................Số báo danh: ................................

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI
CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
KÌ THI NGÀY 12/4/2014
MÔN THI : TOÁN 8



Ghi chú: Đáp án chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi
bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, hình vẽ sai không chấm điểm. Nếu HS giải cách khác đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.

HƯỚNG DẪN CÁC BƯỚC LÀM
ĐIỂM

Câu 1
a)



0,5đ





0,5đ




0,5đ




0,5đ

b) Với
Ta có

0,5đ

Để
thì (x-1) phải là ước của 2

0,5đ

Suy ra

Xét từng trường hợp tìm x
0,5đ

Đối chiếu điều kiện tìm được x = 2 hoặc x = 3 thỏa mãn và kết luận
0,5đ

Câu 2
a) Ta có: A =

A



0,5đ



0,5đ



0,5đ

 Do đó A là tích của 7 số nguyên liên tiếp => A
7 với
.
0,5đ

b) b) P = n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 - 4n2 = (n2 + 2)2  - (2n)2
= (n2 - 2n + 2)(n2 + 2n + 2) = [(n - 1)2 + 1][(n + 1)2 + 1].
V× n lµ sè tù nhiªn nªn (n + 1)2 + 1
2; Nh­ vËy muèn P lµ sè nguyªn tè th× ph¶i cã (n - 1)2 + 1 = 1 hay (n - 1)2 = 0, suy ra n = 1.
Khi ®ã P = 5 lµ sè nguyªn tè.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

Câu 3:
a) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;
TXĐ :

0,5đ


Phương trình trở thành :









0,5đ


18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)

(x+13)(x-2)=0
0,5đ

 Từ đó tìm được x=-13; x=2 (thỏa mãn)
Kết luận
0,5đ

b) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0. Ta có x, y, z >0
Từ đó suy ra a=
;
0,5đ