Đề thi chọn HSG

phòng giáo dục - đào tạo đức thọ
đề thi olympic huyện năm học 2010 – 2011
Môn toán lớp 8. Thời gian: 120 phút


Bài 1: 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2) Cho và Tính S =
Bài 2: 1) Giải phương trình:
2) Có tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho
Bài 3: Rút gọn biểu thức A =
Bài 4: Cho (ABC vuông tại A, có AB < AC. Kẻ phân giác AD. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC. BN cắt CM tại K, AK cắt DM tại I, BN cắt DM tại E, CM cắt DN tại F.
1) Chứng minh rằng EF // BC
2) Chứng minh rằng K là trực tâm của (AEF
3) Tính số đo của
Bài 5: Cho a, b, c, d, e > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c + d + e = 4.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lưu ý: Học sinh không được sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào

----- Hết -----



Lời giải tóm tắt


Bài 1: (5 điểm)
1) (3 điểm) = (1 đ)
= (1 đ)
= (1 đ)
2) (2 điểm) Ta có ( ( (0,5 đ)
và ( (0,5 đ)
Suy ra 125 = Do đó S = = 5 (1 đ)

Bài 2: (5 điểm)
1) (3 điểm( ( (1,5 đ)
Vì (0,5 đ)
Nên phương trình tương đương ( x = 1 (0,5 đ)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 (0,5 đ)

2) (2 điểm). Giả sử tồn tại n ( N* sao cho Ta có 26n có tận cùng là 6 và 212011 có tận cùng là 1. Vậy n6 có tận cùng phải là 5, do đó n có tận cùng là 5. (0,5 đ)
Khi đó có dạng (0,5 đ)
( ( vô lí (0,5 đ)
Vậy không tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn bài toán (0,5 đ)


Bài 3: (2 điểm). Nhận xét rằng mỗi số hạng của tổng có dạng
với k = 2, 3, …, 2011 (1 đ)
Ta có
=
= (1 đ)






Bài 4: (6 điểm). Vẽ hình không chính xác không cho điểm cả bài

1) (2 đ). Chứng minh được tứ giác AMDN
là hình vuông (0,5 đ)
(1đ)
hay ( EF // DC
hay EF // BC (0,5 đ)

2) (2 đ). Theo định lí Thales ta có
(0,5 đ)
hay và (0,5 đ)
( (NAF ( (ABN ( ( AF ( BN. (0,5 đ)
Lập luận tương tự có AE ( CM. Vậy K là trực tâm của (AEF (0,5 đ)

3) (2 đ). K là trực tâm của (AEF ( AK ( EF mà EF // BC ( AK ( BC (0,