Đề thi chọn HSG

ĐỀ THI khẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LẦN 1
Năm học : 2012 – 2013
Môn Toán – Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————


Câu 1:
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3 – 7x2 + 17x – 5
b) Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2 )
Câu 2:
a) Cho các số nguyên a, b,c thoả mãn: ab+bc+ca=1.
Chứng minh rằng: A=
là số chính phương ;
b) CMR với mọi số tự nhiên n ta có: 5n+2+26.5n+82n+1
59
Câu 3:
a) Tìm x biết : (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 ;
b) Cho ba số a, b, c thoả mãn
. Tính
.

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH. Gọi I là trung điểm của HC. Kẻ đoạn thẳng BK vuông góc với BA sao cho BK=
AC
(K và C cùng phía đối với AB).
a) Gọi E là trung điểm của AH. Chứng minh rằng BE song song với IK.
b) Tính góc
.

Câu 5:
Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2012, người ta làm như sau lấy ra hai số bất kỳ và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không? Giải thích.

Hết.

Họ tên thí sinh:………………………………………………
Số báo danh:…………………

(Ghi chú : Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay) .
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8

Bài
Nội dung
Điểm

1a
3x3 – 7x2 + 17x – 5 =

=





1đ

1b
C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) = 2( a+b)(a2 – ab + b2) – 3(a2 + b2 ) =
2 (a2 – ab + b2) – 3(a2 + b2 ) = 2 (a2 + b2) – 2ab – 3(a2 + b2 )
= - (a2 + b2) – 2ab = - ( a+b)2 = -1


1đ

2a
Tacó:









Vì a, b, c là các số nguyên


là số chính phương







1đ

2b
5n+2+26.5n+82n+1=51.5n+8.64n =(59-8).5n +8.64n = 59.5n +8.(64n-5n)
vì (64n-5n)
(64-5) nên có ĐPCM

1đ


3a
(x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 Đặt x2 + x =t
PT trở thành: t2+4t-12=0
t = -6 hoặc t= 2
t = -6
x2 + x = -6
(x+
)2 +
=0 PT vô nghiệm
t=2
x2 + x = 2
(x-1)(x+2)=0
x =1 và x = -2




1,25đ


3b
Ta có






1,25đ

4a


Chứng minh tứ giác BEIK là hình bình hành vì có BK song song và bằng EI (Cùng song song và bằng nửa AC)














1,25đ


4b
Vì EI//AC nên EI
AB. Suy ra E là trực tâm của tam giác ABI.
Suy ra BE
AI, mà BE//KI nên AI
KI hay
=900
1,25đ

5
Tổng của 2012 số ban đầu là 2013.1006 (là số chẵn)
Sau mỗi lần xoá 2 số a,b và thay bằng hiệu của chúng thì tổng các số trên bảng thay đổi là (a-b)-(a+b)=-2b hoặc (b-a)-(a+b)=-2a tức là tăng hoặc giảm đi 1 số chẵn. như vậy tổng của các số trên bảng không thay đổi tính chẵn lẻ khi làm như vậy. Vì tổng các số ban đầu là số chẵn nên trên bảng không thể còn lại số 1.


1đ