Đề thi chọn HSG

TRƯƠNG THCS QUANG TRUNG
TỔ KHOA HỌC – TỰ NHIÊN
KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2018-2019



MÔN: TOÁN - Ngày thi: 10/4/2019
Thời gian làm bài: 150 phút
........................................................................


Bài 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a.

b.

c. Cho

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 2. (6,0 điểm)
a. Cho a; b là các số tự nhiên. Chứng minh rằng:
.
b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn:

c. Giải phương trình
.
d. Giải phương trình bậc 4 sau:
.
Bài 3. (4,0 điểm)
a. Chứng minh
và
. với mọi số thực a, b, c.
b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương.

Bài 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A
. Vẽ đường cao AH
. Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.
Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC.
Chứng minh: Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC.
Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK.
Chứng minh: Tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC.

________________Hết________________

\





TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG
TỔ KHOA HỌC – TỰ NHIÊN
HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯƠNG
LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2018-2019

MÔN: TOÁN
Bài
Sơ lược lời giải
 Điêm


Bài 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a.

b.

c. Cho

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:





1a
(1,5)











0,5

0,5

0,5

1b
(1,5)











0,5
0,5
0,25
0,25

1c
(1)
 Cho

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ta có:


. với mọi x; y
Do đó:



Theo đề bài :
; và





Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 29. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi
a = 5; b = 2.

0,25



0,25


0,25


0,25



Bài 2. (6,0 điểm)
a. Cho a; b là các số tự nhiên. Chứng minh rằng:
.
b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn:

c. Giải phương trình
.

d. Giải phương trình bậc bốn sau:
.


2a
(1,5)
Ta có:

Mặt khác:




Do:

là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên:
và
là bội của 5 nên:

Do đó:
. Chứng minh tương tự:





0,25
0,25


0,25

0,25

0,5

2b
(1,5)





và


0,5
0,5
0,5

2c
(1,5)
Ta có:








[do:
]
Vậy nghiệm của phương trình là x = 5.



0,5

0,25


0,25

0,25

0,25

2d
(1,5)








Hoặc

TH 1.







Hoặc
.
TH 2.







Hoặc
.
Vậy tập nghiệm của PT là:


0,25

0,25


0,25


0,25



0,25



0,25


Bài 3. (4,0 điểm)
a. Chứng minh
và
. với mọi số thực a, b, c.
b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương.