Đề thi chọn HSG

KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 8
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút


Bài 1.(5 điểm)
Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1.
a) Rút gọn biểu thức
.
b) Chứng minh rằng: A < - 4.
Bài 2. (2 điểm)
Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:
4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0,
Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014.
Bài 3.(2 điểm)
Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pn có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau.
Bài 4.( 8 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF.
Chứng minh CE = CF;
Chứng minh B, D, M thẳng hàng;
Chứng minh (EAC đồng dạng với (MBC;
Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD.
Bài 5. (3 điểm)
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = 1
Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2.

--------------------- Hết ---------------------
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)





Họ và tên thí sinh: .........................................................
Số báo danh:.........................
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài
Nội dung
Biểu điểm

Bài 1
a) Với x + y = 1, biến đổi và thu gọn A.







3(điểm)


b)
(vì x > 0; y < 0 và x + y = 1)
Suy ra A < - 4.
2(điểm)

Bài 2

4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0
( [4x2 – 4x(y + z) + (y + z)2]+ (y2 + z2 – 6y – 10z + 34) = 0
( (2x – y – z)2 + (y – 3)2 + (z – 5)2 = 0
…
( y = 3; z = 5; x = 4
Khi đó T = (4 – 4)2014 + (3 – 4)2014 + (5 – 4)2014 = 2.
2(điểm)

Bài 3



Do p là số nguyên tố và p > 3 nên p không chia hết cho 3. (*)
pn có 20 chữ số. Các chữ số chỉ có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gồm 10 chữ số đôi một khác nhau.
Nếu không có quá nhiều hơn 2 chữ số giống nhau thì mỗi chữ số phải có mặt đúng 2 lần trong cách viết số pn. Như vậy tổng các chữ số của số pn là: 2(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 90
3 nên pn
3
Điều này mâu thuẫn (*).
Vậy trong số pn phải có ít nhất 3 chữ số giống nhau.
2(điểm)

Bài 4

a) Chứng minh được
(CDE = (CBF (g.c.g)
( CE = CF.





2(điểm)


b) Chỉ ra
( M thuộc đường trung trực BD của đoạn AC. Vậy B, D, M thẳng hàng.
2(điểm)


c) Chỉ ra (ACE = (BCM ( (EAC ~ (MBC (g.g).
Chỉ ra (CAE = (CBM
2(điểm)


d) Đặt BN = x ( AN = a – x.
*)Tính SAEFC = SACE + SECF =

- Tính AE: Lý luận để có



- Tính CE2: Lý luận để có CE2 = CD2 + DE2 = a2 + (a + AE)2
(

Do đó SAEFC =

*) Tính SABCD = a2.
Lý