Đề thi chọn HSG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HÓA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC: 2014 -2015
Môn thi: Toán
Ngày thi: 16/03/2015
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

 ( Đề thi này có 06 bài, gồm 01 trang )

Bài 1: (4,5 điểm). Cho biểu thức:
.
a) Tìm điều kiện xác định của Q, rút gọn Q.
b) Tìm x khi Q =
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q.
Bài 2: (4,5 điểm).
a) Giải phương trình:
.
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 – 2x2 – x +2
c) Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho: x2 = y2 + 2y + 13.
Bài 3: (4,0 điểm).
a) Cho abc ≠
và
. Chứng minh rằng a = b = c.
b) Cho số tự nhiên n ( 3. Chứng minh rằng nếu 2n ( 10a ( b (a, b 0 ( b ( 10) thì tích ab chia hết cho 6.
Bài 4: (5,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng: BD.DC = DH.DA.
b) Chứng minh rằng:
.
c) Chứng minh rằng: H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF.
d) Gọi M, N, P, Q, I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CA, AB, EF, FD, DE. Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy tại một điểm.
Bài 5: (1.0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC =b ; BC = a. Đường phân giác BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
.
Bài 6: (1,0 điểm).
Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
.
Hết
Họ tên thí sinh :……………………............ Giám thị số 1 :………………………....
Số báo danh : ……………………............... Giám thị số 2: ………………………....
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN:


 Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang

Bài
 Nội dung cần đạt
Thang điểm

Bài 1
(4,5đ)
Đk:



0,5

1,5


b)

Suy ra x = -1 hoặc x = 2.
So sánh với điều kiện suy ra x = 2 thì Q =

0,5

0,5

0,5


c)
; Vì 1 > 0; x2 – x + 1 =

Q đạt GTLN
đạt GTNN



x=
(t/m). Lúc đó Q =

Vậy GTLN của Q là Q =
khi x=
.

0,25

0,25

0,25

0,25

Bài 2
(4,5đ)
a) ĐK:



Vậy phương trình có một nghiệm x = 0
0,25






0,5


0,5

0,25


b) Ta có x3 – 2x2 – x + 2 = (x3-2x2)-(x-2)=x2(x- 2)-(x-2)
=(x-2)(x2-1)
= (x-2)(x-1)(x+1).
0,5
0,5
0,5


c)Ta có x2 = y2 + 2y + 13 ( x2 = (y + 1)2 + 12
( (x + y + 1)(x - y – 1) = 12
Do x + y + 1 – (x - y – 1) = 2y + 2 là số chẵn và x , y ( N* nên
x + y + 1 > x – y – 1 . Do đó x + y + 1 và x – y – 1 là hai số nguyên dương chẵn.
Từ đó suy ra chỉ có một trường hợp: x + y + 1 = 6 và x – y – 1 = 2
( x = 4 và y = 1. Vậy (x; y) = (4; 1).

0,5