Đề thi chọn HSG

TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG – LẦN 1
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn thi: Toán lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 5x2 - 26x + 24 c) x2 + 6x + 5
b)
d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015
Bài 2: (1,5 điểm)
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
(6
+ 7)(2
– 3) – (4
+ 1)

b) Tính giá trị biểu thức P =
. Biết
2 – 2
2 =
(x + y ≠ 0,
≠ 0).
c) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức
cho đa thức
.
Bài 3 (1,25 điểm): Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
b) Rút gọn A.
c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?
Bài 4 : (2 điểm) Giải các phương trình sau:
a) x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0 c)

b)
d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = 0 với x,y nguyên dương.
Bài 5 : (2,75 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.
a) Chứng minh
AQR và
APS là các tam giác cân.
b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
c) Chứng minh P là trực tâm
SQR.
d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC.
e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
Bài 6 : (0,5 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015
b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = 1. Chứng minh a3 + b3+ ab


--------------- Hết ------------------



HƯỚNG DẪN CHẤM

BÀI
NỘI DUNG
THANG ĐIỂM

Bài 1
(2 điểm)
a) 5x2 - 26x + 24 = 5x2 - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x - 4)
0,5 điểm


b)
=
=

0,5 điểm


c) x2 + 6x + 5 = x2 + x + 5x + 5 = x(x + 1) + 5(x + 1) =

0,5 điểm


d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 – x3 – x2 – x + 2015x2 + 2015x +2015 = x2 (x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2015)
0,5 điểm

Bài 2
(1,5 điểm)
a) ( 6
+ 7)(2
– 3) – (4
+ 1)
= 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – 3x +
=

0,5 điểm


b) x2 – 2y2 = xy ( x2 – xy – 2y2 = 0 ( (x + y)(x – 2y) = 0
Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0 ( x = 2y .Khi đó A =

0,5 điểm


c)

Đặt
, biểu thức P(x) được viết lại:


Do đó khi chia
cho t ta có số dư là 2000
0,5 điểm

Bài 3
(1,25 điểm)
a) Điều kiện: x

y; y
0
0,25 điểm


b) A = 2x (x+y)
0,5 điểm


c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A
Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1
2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2