Đề thi chọn HSG

THCS Mỹ Hưng
ĐỀ THI ÔLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 8
(120 Phút)
(năm học 2013 – 2014)
Câu 1 : (6 điểm)
a) Giải phương trình :

b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
A =

Câu 2 : (5 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3.
b) Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
Câu 3. (3 điểm )
a. Cho 3 a, b, c có 1. minh :

b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
Bài 4 : ( 6 điểm )
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên AC. Từ C vẽ đờng thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O. Chứng minh rằng :
a ) OA.OB = OC.OH
b ) Góc OHA có số đo không đổi
c ) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi.
Đáp án – hướng dẫn chấm

Câu 1 : (6 đ)
a) (3 đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,5
ĐKXĐ :
0,5
Phương trình trở thành :





1,75
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm được x=-13; x=2; ( 0,)
b) (3 đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ đó suy ra a=
; ( 1,)
Thay vào ta được A=
( 0,75 đ)
Từ đó suy ra A
hay A
( 0,)

Câu 2 : (2đ)
a) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 . Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)
=
=(a+b)
0,5
Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ;
Do vậy (a+b)
chia hết cho 9
b ) ( ) n5 + 1 n3 + 1n5 + n2 – n2 + 1 n3 + 1
n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1
n – 1)(n + 1) n+1)(n2 – n + 1)
n – 1 n2 – n + 1
n(n – 1) n2 – n + 1
Hay n2 – n n2 – n + 1
n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1
1n2 – n + 1
Xét hai trường hợp:
+ n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thử lại thấy t/m đề bài
+ n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn
Câu 3
a. Từ: a + b + c = 1

( 1đ )


Dấu bằng xảy ra
a = b = c =
( 0,5 đ )
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1