Đề thi chọn HSG

///





Sơ lược bài giải
Câu 1:
1) Cho biểu thức

a/ Rút gọn A
b/ Tìm x để A > 0
Giải:
a) Rút gọn A: ĐKXĐ:



b) A > 0

> 0, mà 2 > 0 nên 1 - 2x > 0
2x < 1
x <

KL: ….
2) P(x) = x2012 -2011x2011 - 2011x2010 - ……. - 2011x2 - 2011x+1
P(x) = x2012 - 2012x2011 + x2011 - 2011x2010 - ……. + x3 - 2012x2 + x2 - 2012x + x +1
P(x) = x2011( x - 2012) + x2010(x- 2012) + ……. + x2 (x - 2012)+ x(x - 2012) + x +1
nên P(2012) = 2012+ 1 = 2013
Bài 2:
a) Ta có x2 + xy - 2x +1 = x + y
( x- 1)2 +y( x - 1) - ( x - 1) = 1

(x -1)( x - 1 + y - 1) = 1

( x - 1)( x + y -2) = 1
Giải ra ta được x = 0; y = 1
x = 2; y = 1 là hai nghiệm của PT
Có thể giải cách 2: x2 + xy - 2x +1 = x + y
x2 - 2x +1 - x= y(1-x)

y =
=1 - x -

y = 1 - x +1+

Vì y là số nguyên nên x-1 là ước của 1 từ đó tìm được x, y tương ứng

b) Ta có x2 -2xy +2y2 - 2x - 2y + 5 = 0
( x - y - 1)2 + (y - 2)2 = 0
Vì ( x - y - 1)2
0 và (y - 2)2
0 Suy ra được

Thay vào ta tính được P = 1
Bài 3: a) Giải PT: x6 - 7x3 - 8 = 0
x6 + x3 - 8x3 - 8 = 0

x3 (x3 + 1 ) - 8(x3 + 1 )=0

(x3 -8) (x3 + 1 ) = 0
Giải ra ta được S = {- 1; 2} là tập nghiệm của PT
b) Cho a,b là hai số nguyên dương thỏa mãn: a+1 và b+2007 chia hết cho 6
CMR: (4a +a+b)
6
Theo gt a+1 và b+2007 chia hết cho 6 nên a và b đều là các số lẻ
do đó 4a +a+b chia hết cho 2 (1)
Vì a+1 và b+2007 chia hết cho 6 nên a+b+2008 chia hết cho 3

( a+b+1) + 2007 chia hết cho 3 mà 2007
3 nên a+b+1
3
Ta lại có 4a +a+b =4a - 1+a+b+1
trong đó (4a -1)
(4-1) hay (4a -1)
3 và theo trên (a+b+1)
3 nên (4a +a+b)
3(2)
từ (1);(2) và (2,3)=1 nên ta có điều cần c/m
Cách 2: Ta c/m4a chia cho 6 dư 4 (1)
+) Với a = 1 ta có 41= 4 chia cho 6 dư 4
+) Với a = 2, ta có 42=16 chia cho 6 dư 4
+) Giả sử KL (1) đúng với a = k, ta cần c/m (1) cũng đúng với a = k +1.
Ta só 4k chia cho 6 dư 4
4k
4(mod 6)

4k.4
4.4 (mod 6)

4k+1
16(mod 6)

4k+1
4(mod 6)
Hay 4k+1 chia cho 6 dư 4, tức là (1) đúng với a=k+1
suy ra 4a cxhia cho 6 dư 4

4a - 4 chia hết cho 6
Ta blaij có Vì a+1 và b+2007 chia hết cho 6 nên a+b+2008 chia hết cho 6
Hay Vì a+ b+2007 chia hết cho 6 nên a+b+2008chia hết cho 6

a + b + 4+ 2004 chia hết cho 6
vì 2004 chia hết cho 6
a + b + 4 chia hết cho 6 , theo trên thì 4a - 4 chia hết cho 6
Nên 4a - 4 +a + b + 4 chia hết cho 6 do đó 4a + a + b chia hết cho 6

Bài 4:Cho tam giác ABC