Đề thi chọn HSG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP BẮC GIANG




ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN THI: TOÁN 8
Ngày thi: 8/04/2018
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề


Bài 1: (5,0 điểm)
1. Cho biểu thức M=

a/ Rút gọn M b/ Tìm giá trị lớn nhất của M
2. Cho x, y là số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn
.
Chứng minh M=
là bình phương của một số hữu tỷ
Bài 2: (4,0 điểm)
1. Tìm số dư trong phép chia
cho

2. Cho x, y, z thỏa mãn
;
;

Tính giá trị biểu thức H=

Bài 3: (4,0 điểm)
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn

2. Giải phương trình Giải phương trình:

Bài 4: (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M ( 0 1. Chứng minh
vuông cân
2. Chứng minh MN song song với BE
3. Chứng minh CK vuông góc với BE
4. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh

Bài 5: (1,0 điểm)
Cho x, y
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của H=


................................................................................................................................................

Họ và tên thí sinh:................................................. Số báo danh:….…
Giám thị 1 (Họ tên và ký).......................................................................
Giám thị 2 (Họ tên và ký).......................................................................

HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2017-2018
MÔN: TOÁN LỚP 8

Câu
Nội Dung
Điểm

Bài 1

5 đ

1/
3đ
a/ M=

=

=

=

Vậy M=
với mọi x
0,5





0,5


0,5

0,5


b/ Ta có M=
với mọi x
Nếu x=0 tha có M=0
Nếu x
, chia cả tử và mẫu của M cho x2 tha có M=

Ta có

Nên ta có
dấu = có khi x=1. Vậy M lớn nhất M=1 khi x=1

0,5







0,5

2/
2 đ
Ta có





Ta có M=

Vì x, y
nên
là số hữu tỷ, vậy M là bình phương của một số hữu tỷ
0,75




0,75đ

0,5

Bài 2

4,0đ

1/
2,0đ
Ta có
=...=

Đặt
, ta có
=

=
=

Vậy ta có
=

Vậy số dư trong phép chia
cho
là 2018
0,5

0,5

0,5
0,5

2/
2,0đ
Vì

.
Tương tự ta có

Vậy H=

=

Ta có



Vậy H=


0,5



0,5



0,5


0,5

Bài 3

4,0 đ

1/
2,0đ
Ta có

Vì x nguyên nên 2x+3 khác 0 nên ta có
=



Vì x, y nguyên nên ta có
nguyên

- Xét các trường hợp ta tìm được x=
1 , y=
7 ; x=
, y=5 Thỏa mãn và KL
Chú ý: HS có thể làm:




rồi làm như trên

0,5

0,5



0,5

0,5


2/
2,0đ
-Ta có

Đặt
Ta có PT



-Xét các trừng hợp ta tìm được x=0 ; x=
; x=
; x=

-KL
0,5


0,5


0,5
0.5

Bài 4



6 đ

1/
1,5đ
-Ta có
; vì

-Ta có BD là phân giác góc ABC


Tương tự ta có
Vậy ta có

-Xét
và
có OB=OC ;
;



*Xét
có
vuông cân