Đề thi chọn HSG

ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 8
Đề 1:
Câu 1: (4,5đ) Cho biểu thức sau: A =
2
3−𝑥
2
2𝑥+1+
7
2
𝑥
2−5𝑥−3

Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức trên.
Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của A là lập phương của một số tự nhiên.
Câu 2: (4,0đ)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2
𝑥
2
𝑦
2+3𝑥𝑦+𝑥−1
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 3𝑥+5𝑥𝑦=6𝑦+5
Câu 3: (3,5đ)
Giải phương trình sau:
1
𝑥
2−3𝑥
1
𝑥
2+3𝑥
1
𝑥
2+9𝑥+18
3
8=0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:A=
12
𝑥
2−40𝑥+34
4
𝑥
2−12𝑥+9

Câu 4: (5,0đ)
Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số sao cho nếu ta chuyển vị trí chữ số hàng đơn vị về bên trái của số đó thì ta được một số mới lớn hơn số ban đầu 765 đơn vị.
Cho một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 1080 . Tìm tỉ số giữa canh bên và cạnh đáy.
Cho hình lập phương có cạnh là a và hình hộp chữ nhật có ba cạnh là a, b, c có cùng thể tích với nhau thỏa mãn: b2 + c2 + 2 = 5a. Tìm thể tích nhỏ nhất và thể tích lớn nhất của hình lập phương.
Câu 5: (3,0đ) Trên bảng cho n điểm phân biệt, mỗi điểm được đánh số thứ tự từ 1 đến n. Người ta tiến hành xóa đi những điểm mang số thứ tự chẵn. Chứng minh rằng sau khi xóa đi thì tổng các số còn lại trên bảng là bình phương của một số tự nhiên. Từ đó, hãy tìm các số tự nhiên n sao cho khi ta thực hiện việc xóa đi như trên thì tổng các số còn lại trên bảng là 100.
--Hết—






Đề 2
Câu 1: (4,5đ) Cho biểu thức sau: A =
𝑥+1
3𝑥−2
1
𝑥−2
4
3
𝑥
2−8𝑥+4

Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A.
Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức trên nhận giá trị nguyên.
Câu 2: (4,0đ)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
𝑥
2+𝑥+2𝑦−𝑥𝑦−6
𝑦
2

Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
𝑥
2+3𝑥𝑦+2
𝑦
2=𝑥+3𝑦+2
Câu 3: (4,5đ)
Giải phương trình sau:
𝑥
3−7𝑥+6=0
Tìm gái trị lớn nhất của biểu thức sau: B =
3
2𝑥−1
𝑥+1
2

Câu 4: (3,5đ) Cho hình vuông ABCD, gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC; O là giao điểm của AJ và DI. Biết rằng
𝑆∆𝑂𝐽𝐷=
96
5 (đvdt). Tìm diện tích của tứ giác ADJI.
Câu 5: (4,0đ)
1. Tìm các số thực x, y thỏa mãn: (𝑦
2−4
𝑦+5
𝑥
2+2
𝑥+1=2
𝑥
2+1)
2. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
M =
1
1
𝑥
2
1
1
𝑦
2
1
1
𝑧
2

Dấu “=’’ xảy ra khi nào?