De thi

Chuyªn ®Ò : sè chÝnh phu¬ng
(Dïng BD HSG To¸n 8)

I. LÝ thuyÕt:
1. Số chính phương(SCP)là bình phương của một số tự nhiên.
M­êi sè chÝnh ph­¬ng ®Çu tiªn lµ : 0;1;4;9;16;25;36;49;64;81
2. Mét sè t/c cña SCP:
Số chính phương chỉ có thể tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9, không tận cùng bëi c¸c ch÷ sè 2, 3, 7, 8.
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
Ch¼ng han: 3600

Tõ ®ã suy ra:
- Sè chÝnh ph­¬ng
th×

- Sè chÝnh ph­¬ng
th×

Tæng qu¸t: , nÕu sè chÝnh ph­¬ng
th×
.
Số ước số của một số chính phương là số lẻ. Đảo lại, một số có số ước số lẻ thì số đó là số chính phương.
Sè chÝnh ph­¬ng chia :
+ Cho 3 chØ cã thÓ d­ 0 hoÆc 1.
+ Cho 4 chØ cã thÓ d­ 0 hoÆc 1.
+ Cho 5 chØ cã thÓ d­ 0 hoÆc d­ 1 hoÆcd­ 4.
+ Sè chÝnh ph­¬ng lÎ chia cho 4 hoÆc 8 ®Òu d­ 1.
Gi÷a hai SCP liªn tiÕp kh«ng cã sè chÝnh ph­¬ng nµo .
*
(1)
kh«ng tån t¹i
tho¶ m·n (1).
*

NÕu hai sè nguyªn liªn tiÕp cã tÝch lµ mét sè chÝnh ph­¬ng th× mét trong hai sè nguyªn ®ã lµ sè 0.
3. NhËn biÕt mét sè lµ SCP.
a) §Ó chøng minh N lµ mét sè CP ta cã thÓ:
- BiÕn ®æi N thµnh b×nh ph­¬ng cña mét sè TN hoÆc sè nguyªn.
- VËn dông tÝnh chÊt : nÕu hai sè TN a vµ b nguyªn tè cïng nhau cã tÝch lµ mét sè CP th× mçi sè a, b còng lµ mét sè CP.
b) §Ó chøng minh N kh«ng ph¶i lµ sè CP ta cã thÓ :
- C/minh N cã c¸c ch÷ sè tËn cïng lµ: 2, 3, 7, 8 hoÆc cã “ mét sè lÎ ch÷ sè 0 tËn cïng”.
- C/minh N chøa sè nguyªn tè víi sè mò lÎ.
- XÐt sè d­ khi chia cho 3 hoÆc cho 4 hoÆc cho 5, cho 8 …
Ch¼ng h¹n: nÕu N chia cho 3 cã sè d­ lµ 2; hoÆc cho 4 , cho 5 cã sè d­ lµ 2; 3 th× N kh«ng ph¶i lµ sè CP.
- C/minh N n»m gi÷a hai sè CP liªn tiÕp.
II. Bµi tËp:
Chøng minh
lµ mét sè CP.
Gi¶i

=

§Æt :
= a th×
. Do ®ã

Ta cã : A = a.10n + a - 8a + 1 = a(9a+1)+a-8a+1 = 9a2 – 6a + 1 = (3a - 1)2
= (3
-1)2 =

VËy A lµ mét sè CP.

Chứng minh số
là số chính phương.
HD


Vậy :
là số chính phương
D¹ng bµi tËp t­¬ng tù:
Chøng minh c¸c sè sau lµ sè CP:
a) Chøng minh

b) Chøng minh

HD: §Æt
= a.
a) M =
= a.10n + a + 4a + 1 = a(9a+1) + a +4a + 1
= 9a2 + 6a + 1

b) N



Cho a
; b
. Chøng minh r»ng : ab + 4 lµ sè chÝnh ph­¬ng.
HD: ab + 4 = a(a + 4) + 4 = (a + 2)2


Cho a
; b
. Chøng minh r»ng : ab + 4 lµ sè CP.
HD: ab + 4 = a(
)+4 = a(10n + 1) + 4 = a(9a + 12) + 4 = (3a + 2)2

Chøng minh số
là số chính phương.
Chøng minh r»ng:
Tæng cña 3 sè CP liªn tiÕp kh«ng ph¶i lµ mét sè CP.
Tæng S = 12 + 22 + …+ 302 kh«ng ph¶i lµ sè CP.
Gi¶i
a. Gäi 3 sè CP liªn tiÕp lµ (n - 1)2; n2; (n + 1)2
Ta cã (n - 1)2+ n2 + (n + 1)2 = 3n2 + 2. Tæng nµy chia cho 3 d­ 2 nªn kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
b. Ta cã S = (12 + 22 +32 )+ ( 42 + 52 + 62 ) + … + (282 + 292 + 302 )
Tæng trªn cã 10 nhãm vµ mçi nhãm chia cho 3 d­ 2 nªn ta viÕt S d­íi d¹ng:
S =
=

=
d­ 2.
VËy S kh«ng ph¶i lµ sè CP.
Cã hai sè chÝnh ph­¬ng nµo :
a. Cã tæng b»ng 4567? b. Cã hiÖu b»ng 7654 ?
HD :
a. Tæng cña 2 sè CP khi chia cho 4 chØ cã thÓ cã sè d­ lµ 0;1;2. Sè 4567 chia cho 4 cã sè d­ lµ 3. VËy kh«ng cã 2 sè chÝnh ph­¬ng nµo mµ tæng b»ng 4567.
b. HiÖu cña 2 sè CP khi chia cho 4 chØ cã thÓ cã sè d­ lµ 0;1;3. Sè 7654 chia cho 4 cã sè d­ lµ 2. VËy kh«ng cã 2 sè chÝnh ph­¬ng nµo mµ hiÖu b»ng 7654.
Chøng minh r»ng tæng cña 20 sè CP liªn tiÕp kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph­¬ng.
HD: C/minh cho tæng cña 4 sè chÝnh ph­¬ng liªn tiÕp chia cho 4 d­ 2. Tõ ®ã suy ra tæng cña 20 sè chÝnh ph­¬ng liªn tiÕp chia cho 4 d­ 2.
Cho 5 sè chÝnh ph­¬ng bÊt kú cã ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ®Òu b»ng 6 cßn ch÷ sè hµng chôc th× kh¸c nhau. CMR: tæng c¸c ch÷ sè hµng chôc cña 5 sè chÝnh ph­¬ng ®ã còng lµ mét sè chÝnh ph­¬ng.
HD: NÕu mét sè chÝnh ph­¬ng A = n2 cã c/sè hµng ®¬n vÞ b»ng 6 th× n ph¶I lµ mét sè ch½n ,
do ®ã A = n2
, suy ra hai c/ sè cña A chØ cã thÓ lµ 16,36,56,76,96. Tæng c¸c c/ sè hµng chôc lµ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng.
Cho a,b,c lµ c¸c ch÷ sè kh¸c 0.
a) TÝnh tæng S cña tÊt c¶ c¸c sè cã 3 c/ sè t¹o thµnh bëi 3 c/ sè a,b,c ?
b) C/minh r»ng : S kh«ng ph¶I lµ sè chÝnh ph­¬ng.
T×m mét sè CP cã 4 c/ sè biÕt r»ng hai c/ sè ®Çu gièng nhau, hai c/ sè cuèi gièng nhau.
Chøng minh r»ng nÕu n + 1 vµ 2n + 1 ®Òu lµ sè chÝnh ph­¬ng th×






ố chính phương là bình phương của một số nguyên