đề tham khảo

ĐỀ THI TUYẾN SINH MÔN TOÁN CHUYÊN
Câu 1: (2 điểm)
Cho a =
.Tính M = (a2 + a - 1)2014
Cho x, y nguyên dương và x2 + 2y là số chính phương. Chứng minh x2 + y là tổng hai số chính phương

Câu 2: (2 điểm)
a) Giải phương trình
= 1
b) Giải hệ phương trình

Câu 3: (1 điểm)
Cho các hàm số y =
+ 2m và y =
x2 có đồ thị (d) và (P). Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung.
Câu 4: (2 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC và G là điểm bất kỳ trong tam giác qua G vã các tia vuông góc với BC, CA, AB lần lượt cắt các cạnh đó tại D, E, F. Trên các tia GD, GE, GF lấy A/ , B/, C/ sao cho
.Gọi H là điểm đối xứng với A/ qua G
Chứng minh HB///GC/
Chứng minh G là trọng tâm của tam giác A/B/C/

Câu 5: (2 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC tại E và D; BD cắt CE tại H; AH cắt BC tại I. Vẽ các tiếp tuyếnAM, AN của (O). Chứng minh
a) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEI
b) MN, BD, CE đồng quy.

Câu 6: (1 điểm)
Trong hệ trục tọa độ Oxy có đường thẳng (d): y = 2014 – x cắt Ox tại A , cắt Oy tại B. Điểm M(x;y) di chuyển trên đoạn AB (M không trùng với A và B). Tìm MinP =









HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: (2 điểm)
a) Cho a =
.Tính M = (a2 + a - 1)2014
Ta có: a =
=
= -1
M = (a2 + a - 1)2014 = 1

b) Cho x, y nguyên dương và x2 + 2y là số chính phương. Chứng minh x2 + y là tổng hai số chính phương
Ta có: x2 + 2y là số chính phương nên x2 + 2y = k2 => k2 – x2 = 2y
Hay (k – x)(k + x) = 2y là một số chẵn
Mặt khác: k – x + k + x = 2k là một số chẵn nên k – x và k + x cùng tính chẵn, lẻ
Do đó k – x và k + x là các số chẵn
Đặt k – x = 2m và k + x = 2n (m < n) => x = m – n ; y = 2mn
x2 + y = (m - n)2 + 2mn = m2 + n2 (đpcm)

Câu 2: (2 điểm)
a) Giải phương trình
= 1 (1)
Điều kiện: -1 ≤ x ≤ 3
Đặt a =
=> a2 = 4 + 2
=>
=

(1) =>
-
= 1 => 4 – a3 + 4a = 2a
<=> a3 – 2a – 4 = 0 => a = 2
Với a = 2 =>
=2

= 2 -

=> x + 1 = 4 – 4
+ 3 – x
=> 2x – 6 = – 4

=> x – 3 = – 2

=> x 2 – 6x + 9 = 4(3 – x) => x 2 – 2x - 3 = 0 => x = -1 hoặc x = 3
Vậy x = -1; x = 3
b) Giải hệ phương trình

từ (1) => (y – 2)(y – 2x) = 0 <=> y = 2 hoặc y = 2x
Thay y = 2 vào (2) ta được: x3 + 3x2 – 4 = 0 => x = 1 ; x = -2
Thay y = 2x vào (2) ta được: x3 – x2 + 2x – 2 = 0 => x = 1
Vậy (x; y) = (1; 2) ; (-2; 2)

Câu 3: (1 điểm)
Cho các hàm số y =
+ 2m và y =
x2 có đồ thị (d) và (P). Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

+ 2m =
x2 <=> 3x2 - 6x + 8m = 0 (1)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung thì phương trình (1)
Có hai nghiệm dương phân biệt <=>
<=>