DE ON T3-03

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN- NĂM HỌC 2012 – 2013
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (4 điểm)
a/ Tìm x, y, z biết
và 3x + 2y + z = 989
b/ Cho tỉ lệ thức
. Chứng minh rằng:

Bài 2: (4 điểm)
a/ Chứng minh rằng biểu thức S = 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + ……+ 394 + 395 chia hết cho 40.
b/ Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức A = 3n3 + 10n2 – 5 chia hết cho giá trị của biểu thức B = 3n + 1.

Bài 3: (4 điểm)
a/ Chứng minh đẳng thức : (a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)( b + c)(c + a)
b/ Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc

Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường trung tuyến AM (với M
BC). Gọi D là điểm đối xứng với A qua M, E là điểm đối xứng với A qua BC.
a/ Chứng minh BCDE là hình thang cân.
b/ Qua A kẻ đường thẳng d bất kỳ không cắt cạnh BC. B’, C’ là hình chiếu của B và C trên đường thẳng d. Chứng minh rằng: BB’ + CC’
BC

Bài 5: (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD có độ dài đường chéo là 1. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q . Chứng minh rằng chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ hơn 2.

--- HẾT---



















HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8
(THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013)
----------------------
Bài
Đáp án
Điểm

Bài 1:
(4 đ)

a/
và 3x + 2y + z = 989
Từ




..................................................................................

................................................................................

...............................................................................


0,5 đ


0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ


b/ Đặt


(1)

(2)
Từ (1) và (2) suy ra




0,5 đ


0,5 đ


0,5 đ

Bài 2:
(4 đ)

a/ Từ 0 đến 95 có: (95 – 0) + 1 = 96 phần tử, do đó có 24 bộ 4 số liên tiếp nhau
S = (30 + 31 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36 + 37) + ……+ (392 + 393 + 394 + 395)
S = 40 + 34.40 + ……+ 392.40
Các hạng tử đều chia hết cho 40 nên S chia hết cho 40.
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ


b/
Thực hiện phép chia A cho B được thương là n2 + 3n – 1, dư là – 4
Để A chia hết cho B thì 3n + 1
Ư(4) = {
1;
2;
4}
3n + 1
-1
1
-2
2
-4
4

n


0
-1




1

Kết luận
Loại
Nhận
Nhận
Loại
Loại
Nhận

Vậy n = 0 ; n = -1; n = 1

0,5 đ
0,5 đ

0,5 đ


0,5 đ


Bài 3:
(4 đ)

a/ Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)( b + c)(c + a)
Vế trái: (a + b + c)3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c)
= a3 + b3 + 3ab(a + b) + c3 + 3c(a + b)(a + b + c)
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + c(a + b + c)]
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + ca + cb + c2]
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[a(b + c) +