De Olympic huyen Toan 8 (07-08) (Co DA)

Hướng dẫn chấm thi Ô-lim -pic huyện, Môn Toán Lớp 8 Năm học 2007-2008

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (2 điểm)
a) a2 – a – 6 = a2 + 2a -3a – 6 = a(a + 2) -3( a + 2) = ( a + 2)( a – 3) (2đ)
b) a4 + 4 = a4 + 4a2 + 4 – 4a2 = (a2 + 2)2 - 4a2  = (a2 + 2 + 2a)( a2 + 2 - 2a) (2đ)

Bài 2. a) Tìm đa thức bậc ba f(x), biết: f(x) + f(x + 1) = 4x3 + 14x2 + 16x + 17 (2 điểm)
Giải: Đa thức phải tìm có dạng ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d R)
Ta có: f(x) + f(x + 1) = ax3 + bx2 + cx + d + a(x + 1)3 + b(x + 1)2 + c(x + 1) + d
= 2ax3 +(3a + 2b)x2 + (3a + 2b + 2c)x + a + b + c + 2d = 4x3 + 14x2 + 16x + 17
Đồng nhất hai vế ta có:
2a = 4 => a = 2
3a + 2b = 14 => b = 4
3a + 2b + 2c =16 => c = 1
a + b + c + 2d = 17 => d = 5.
Vậy đa thức phải tìm là 2x3 + 4x2 + x + 5
b) Tìm n N* sao cho n2 + n + 13 là số chính phương. (2 điểm)
Giải: Đặt n2 + n + 13 = y2 (y N*) => 4n2 + 4n + 52 = 4y2
<=> (2y + 2n + 1) (2y – 2n - 1) = 51 <=>
Vậy n = 3, hoặc n = 12
Bài 3. Cho f(x) = tính tổng:
S = f+ f+ f+ … + f(3,5 điểm)
Giải: Nếu x1 + x2 = 1 thì:
f(x1) + f(x2) = =
= Do đó: f+ f= 1; f+ f= 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f+ f= 1. => S = 1004
Bài 4. a) Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức: P = (1.5 điểm)
Giải: Ta thấy x = 0 thì P = 0 giá trị này không phải là GTLN của P, P đạt GTLN với x 0
P = đạt GTLN <=> nhỏ nhất = 2<=> x = 1
Vậy max P = <=> x = 1
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (3 điểm)
Giải: A = = =
= Vì Nên A (10 + 8)(17 + 8) = 450
Dấu bằng xẩy ra <=> <=> x = 4


Bài 5. Cho hình vuông ABCD, M và N theo thứ tự là trung điểm của của AB và AD. MD cắt AC tại P, NC cắt BD tại Q, MD và NC cắt nhau tại E, PQ và BE cắt nhau tại F. Chứng minh:
BC = BE (3điểm)
FP = FE (3điểm)
Giải: a) Ta có: AMD = DNC vì
AD = DC (gt) AM = DN = 1/2AD,
= 1v
=> 1v => 1v.
Đường thẳng DM cắt đường thẳng CB tại K.
Ta có MB là đường trung bình của DCK
=> BK = BC,
EB là trung tuyến thuộc cạnh huyền
tam giác vuông EKC => BC = BE (Đpcm)
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có P là trọng tâm ABD, Q là trọng