De kt vip

CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG

A.LÍ THUYẾT:
1.Các hằng đẳng thức





2.Nhị thức Newton( Niu-tơn)
a.Định lí:



Kết quả:
*

*




b.Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn
:
-Số các số hạng của công thức là n+1
-Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: (n-k)+k=n
-Số hạng tổng quát của nhị thức là:

(Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển
)
-Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau.
-

-

-Tam giác pascal: 1
Khi viết các hệ số lần lượt với n = 0,1,2,... ta được bảng
n
k





0
1
2
3
4
5
....

0
1







1
1
1






2
1
2
1





3
1


3
1




4
1
4
6
4
1



5
1
5
10
10
5
1



















Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n-1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó. Sơ dĩ có quan hệ này là do có công thức truy hồi

(Với 1 < k < n)
3.Một sô công thức khai triển hay sử dụng:















4.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton.

a.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có
với i là số tự nhiên liên tiếp.
b. Trong biểu thức có
thì ta dùng đạo hàm

Trong biểu thức có
thì ta nhân 2 vế với xk rồi lấy đạo hàm
Trong biểu thức có
thì ta chọn giá trị của x=a thích hợp.
Trong biểu thức có
thì ta lấy tích phân xác định trên
thích hợp.
Nếu bài toán cho khai triển
thì hệ số của xm là Cin sap cho phương trình
có nghiệm


đạt MAX khi
hay
với n lẽ,
với n chẵn.


B.ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON.
I.Các bài toán về hệ số nhị thức.
1.Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton.

Ví dụ 1:(Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức:


Ta được đa thức:

Xác định hệ số a9.

Giải:
Hệ số x9 trong các đa thức
lần lượt là:

Do đó:

=11+55+220+715+2002=3003
Ví dụ 2:(ĐHBKHN-2000) Giải bất phương trình:


Giải:
Điều kiện:
x là số nguyên dương và

Ta có: dất phương trình đã cho tương đương với:


Vì x là nghiệm nguyên dương và
nên

Ví dụ 3: (ĐH KA 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của:


Giải:
Cách 1: Ta có:

Vậy ta có hệ số của x8 là:
thoã

Hệ số trong khai triển của x8 là:

=238
Cách 2: Ta có:


Nhận thấy: x8 chỉ có trong các số hạng:
Số hạng thứ 4:

Số hạng thứ 5:

Với hệ số tương đương với: A8=
=238
Ví dụ 4:(ĐH HCQG, 2000)
Tìm hệ số x8 trong khai triển

Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức
bằng 1024. Hãy tìm hệ số a
của số hạng ax12 trong khai triển đó.( ĐHSPHN, khối D,2000)

Giải:
Số hạng thứ (k+1) trong khai triển là:



Ta chọn

Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x8 và có hệ số là:

Ta có:

Với x=1 thì:


Do đó hệ số a (của x12) là:

Ví dụ 5:(HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức:


Tìm max



Giải:
Gọi ak là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra:

Từ đây ta có hệ