Đề KS-HSG Toán 8 năm 2008-2009

PHÒNG GD&ĐT
Đề thi khảo sát hsg lớp 8
Môn : Toán
Thời gian: phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày:…./…


Bài 1: (8 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a1) A = x2 – x – y2 – y
a2) B = x2 – 5x + 6
b) Chứng minh rằng: Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
c) Cho a =
; b =
.
Chứng minh rằng: C = ab + 1 là một số chính phương.

Bài 2: (8 điểm)
a) Cho xy = a; yz = b; zx = c (trong đó a, b, c khác 0)
Tính: D = x2 + y2 + z2
b) Cho abc = 2.
Tính giá trị của biểu thức sau:

c) Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khác 0.
Rút gọn biểu thức:


Bài 3: (4 điểm)
a) Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Chứng minh: SABM = SACM.
b) Cho tam giác ABC kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’ gặp nhau tại H.
Chứng minh rằng:


Hết

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CHẤM

Bài 1 : (8 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử :
a1) A = (x2 – y2) – (x + y) 0.50
= (x + y)(x – y) – (x + y) 0.75
= (x + y)(x – y – 1) 0.75

a2) B = x2 – 2x – 3x + 6 0.50
= (x2 – 2x) – (3x – 6) 0.50
= x(x – 2) – 3(x – 2) 0.50
= (x – 2)(x – 3) 0.50

b) Chứng minh rằng: Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
Gọi số lẻ có dạng 2k + 1 (k ( N) 0.50
Ta có : 2k + 1= k2 + 2k + 1 – k2 1.00
= (k + 1)2 – k2 0.50

c) Cho
;
.
Chứng minh rằng : C = ab + 1 là một số chính phương.
Ta có : 9a + 1 = 10n 0.50

0.25
= 10n + 5 = 9a + 6 0.25
C = ab + 1 = a(9a + 6) + 1 0.25
C = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 0.50
C =
0.25

Bài 2 : (8 điểm)
a) Cho xy = a ; yz = b ; zx = c Tính : D = x2 + y2 + z2
Ta có : xy = a ; yz = b ; zx = c Suy ra : x2y2z2 = abc
x2y2 = a2 0.25
y2z2 = b2 0.25
z2x2 = c2 0.25
Do đó : x2b2 = abc 0.25
a2z2 = abc 0.25
y2c2 = abc 0.25
Hay :
;
;
0.25
Vậy
0.25

b) Cho abc = 2. Tính giá trị của biểu thức sau:


1.00

1.00

0.50

0.50

c) Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khác 0.
Rút gọn biểu thức :


0.75

0.50
Mà : a + b + c = 0
Suy ra : a3 + b3 + c3 = 3abc 1.00

0.50

0.25

Bài 3 : (4 điểm)
a) Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Chứng minh: SABM = SACM.
Kẻ AH ( BC 0.25
Ta có :

0.50

0.50
Mà : BM = CM (AM là trung tuyến)
Vậy : SABM = SACM 0