Đề KS-HSG Toán 8 năm 2007-2008

Phòng GD&ĐT
----o0o----
Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi
Năm học 2007-2008
Môn: Toán 8.
(Thời gian: 150phút, không kể thời gian giao đề)



Câu I(2đ).
a/. Giả sử a và b nguyên tố cùng nhau với số 3 và a + b chia hết cho 3.
Chứng minh rằng: Đa thức xa + xb + 1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1
b/. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

Câu II(2đ).
a/. Giải và biện luận phương trình:
b/. Cho c2 + 2(ab - bc - ca) = 0 và b ≠ c; a + b ≠ c.
Hãy so sánh và
Câu III(2đ).
a/. Cho a, b, c là các số tự nhiên thoả mãn a – b là số nguyên tố và
3c2 = c(a+b) + ab. Chứng minh rằng: 8c + 1 là số chính phương.
b/. Cho x, y thoả mãn x2 + 4xy + 5y2 – 2008 = 0 và x.y ( 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2x2 + 6xy + 10y2

Câu IV(1đ).
Tìm tất cả các số tự nhiên x, y và số nguyên tố z sao cho

Câu V(3đ).
a/. Cho hình bình hành ABCD, các đường cao CE, CF (E thuộc AB, F thuộc AD).
Chứng minh rằng: AD.DF + AB.AE = AC2
b/. Cho tam giác ABC có các đường phân giác BE, CF cắt nhau ở O và Xác định tính chất của tam giác ABC.
---------------------------------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ tên thí sinh:…………………………….SBD……………
Học sinh trường
Phòng GD&ĐT
----o0o----
hướng dẫn chấm học sinh giỏi
Năm học 2007-2008
Môn: Toán 8.


Câu
Nội dung
Điểm

I
1a(1đ)
- Vì a, b nguyên tố cùng nhau với 3 nên a, b không chia hết cho 3 mà
a + b chia hết cho 3 nên giả sử a = 3k+1; b=3t+2
- Ta có xa + xb + 1 = x3k+1 + x3t+2 + 1= (x3k+1 – x) + (x3t+2 – x2) + (x2+x+ 1)
- Vì x3k+1 – x = x(x3k – 1) chia hết cho x2+x+ 1
x3t+2 – x2 = x2(x3t – 1) chia hết cho x2+x+ 1
(x2+x+ 1) chia hết cho x2+x+ 1
- Vậy xa + xb + 1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1



0,25
0,25


0,25
0,25


1b(1đ)
- Vì x + y + z = 0 ( z = - x - y
- Ta có x5 + y5 + z5 = x5 + y5 + (- x – y)5 =…….= 5xyz(x2 + y2 + xy)
- Suy ra 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(2x2 + 2y2 + 2xy)
= 5xyz[(x+y)2 + y2 + x2] =5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm


0,25
0,50

0,25

II
2a(1đ)
-ĐKXĐ x( 2
- Quy đồng đưa PT về dạng (m2 – 5m + 6)x = m – 2
( (m – 2)(m – 3)x = m – 2
- Nếu m = 2 ta có 0x = 0 (PT vô số nghiệm x ( 2
- Nếu m = 3 ta có 0x = 1(PT vô nghiệm
- Nếu m ( 2; 3 ta có là nghiệm khi
Vậy m = 2 (PT có vô số nghiệm x ( 2
m = 3 hoặc PT vô