đề kiểm tra

đề khảo sát học sinh giỏi

Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho là số nguyên dương
Câu 2: Giải phương trình và hệ phương trình sau
a)
b)
Câu3: Cho a, b, c là các số thực dưng thỏa mãn a2 + b2 +c2 = 3. Chứng minh rằng:
12+ 9abc ≥7(ab + bc + ca)
Câu 4: Cho (0; R) cố định, điểm A cố định ở ngoài (O) sao cho OA = 2R. BC là một
đường kính quay xung quanh O ( A; C; A không thẳng hàng). Đường tròn ngoại tiếp (ABC cắt đường thẳng OA tại I ( I≠ A).
a) Chứng minh rằng OA. OI = OB.OC
b) AB và AC cắt (O) lần lượt tại D và E, DE cắt OA tại K. Chứng minh rằng các điểm E, I, K, C cùng thuộc một đường tròn. Tính AK theo R
c) Chứng minh rằng khi BC quay xung quanh O thì tâm đường tròn ngoại tiếp ADE di chuyển trên một đường cố định
Câu 5: Tìm tất cả các bộ 4 số có 3 chữ số thỏa mãn các điều kiện sau:
* Cả 4 số đều khác nhau
* Cả 4 số đều bắt đầu cùng một số
*Tổng của 4 số chia hết cho 3 số trong chúng
Câu 6: Có 2008 con gà nhốt vào 1004 chuồng, mỗi chuồng có hai con. Sau mỗi ngày
người ta lại thay đổi vị trí của gà sao cho không có hai con gà nào đã nhốt chung chuồng trước đó lại nằm cùng chuồng một lần nữa. Hỏi tối đa có bao nhiêu ngày làm được như vậy?
---------------- giám thị không giải thích gì thêm---------------- đáp án khảo sát học sinh giỏi

Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho là số nguyên dương
Giải: Ta xét bài toán phụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x + y + z = xyz (1). Không mất tính tổng quát ta giả sử x≥ y ≥ z => x + y + z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz > z2 => z = 1. Từ . Từ đó tìm được các nghiệm (x,y,z) = (3,2,1) và các hoán vị của nó.
Trở lại bài toán (N* => x(x2+1) ( (xy-1) => x2+1 ((xy – 1) vì (x; xy – 1) =1 => (x2+1 +xy -1)(xy – 1 ( (x2 + xy ) ((xy – 1) ( x(x+y) ((xy-1) ( (x + y) ( (xy – 1) vì (x; xy-1)=1. Hay (x+y) ((xy – 1)z ( z (N*). áp dụng bài toán phụ => (x,y) thỏa mãn đề bài là (1;2); (2; 1) ; (1;3); (3;1) ; (2;3) ; (3;2)
Câu 2: Giải phương trình và hệ phương trình sau
a)
Giải: (1) . ĐKXĐ: x≥1 (*) . Đặt (y ≥0) => x = y2 + 1 khi đó (1) ( ( ( (
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm và
b)
Giải: Xét (2) Để hệ có nghiệm (x ≥ 0 => 1≤ y ≤ 7/3. Biến đổi (2) ta được (x+y)2 +( x – 3)2 + y2 -8y +1 = 0. Do (x +