ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG TOÁN 8 LẦN 1 -THÁNG 10

BÀI KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG TOÁN 8 LẦN 1
Ngày kiểm tra 16 tháng 10 năm 2015

Bài 1: ( 5 đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, x3 - 19x – 30 1đ
b, 2x3 - 5x2 + 8x - 3 1đ
c, x2(y - z) + y2(z - x) + z(x - y) 1đ
d, a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) 1 đ
e, x2 - x - 2001.2002 0,5
f, x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 0,5
Bài 2 ( 1 đ) Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho
B = 1 + 2 + 3 + ... + 100
Bài 3: ( 2 đ) Chứng minh rằng
a) n5 - n chia hết cho 30 với n ( N ;
b) n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n( Z
Bài 4:( 2 đ)
Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm M,N sao cho AM = CN.Trên AB lấy điểm E, trên CD lấy điểm F sao cho BE = DF.Chứng minh rằng MENF là hình bình hành.




ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM
Bài 1:
e, x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)
= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)
f, x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)
Bài 2: Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50
Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101
Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513)
= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1)
Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003)
Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B
Hoặc chứng minh được A =B2
Bài 3: a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vì
(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)
Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5) = n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1)
= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1)
Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5
5n(n2 - 1) chia hết cho 5
Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 (**)
Từ (*) và (**) suy ra đpcm
b) Đặt A = n4 -10n2 + 9 = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)
Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k
Z) thì
A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2)
A chia