Đề khảo sát học sinh giỏi môn toán lớp 9 năm 2014 - 2015

TRƯỜNG THCS PHAN CHÂU TRINH
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN LỚP 9
Bài 1. (3,0 điểm):
Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 2 (2,0 điểm):
Giải phương trình:
a)

b) Cho a + b + c = 1 , a2 + b2 + c2 = 1 và

.
Tính giá trị của xy + yz + xz
Bài 3 (1,0 điểm)
Tìm các số nguyên
thỏa mãn:

Bài 4 (4,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K.
Chứng minh:
không đổi
Chứng minh:

c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD.



















ĐÁP ÁN
Bài
Nội dung
Điểm

Bài 1
3,0đ

a) (2,0đ)
ĐKXĐ:












0,5đ




0,5đ

0,5đ



0,5đ


b) (1,0đ)
Ta có:

Áp dụng BĐT CôSi cho 2 số
và
ta có:


Dấu “=” xẩy ra khi
(TMĐK)
Vậy: Min M = 4 khi


0,25đ




0,25đ


0,25đ
0,25đ

Bài 2
2đ

Đặt : a=
; b=
; c=
Phương trình (1) đã cho trở thành:




x + 1+ x +2 + x +3 = 3

<=> 3(x+2) = 3
((x +2)3 = (x+1)(x+ 2)(x+3)
<=> (x+2) [(x +2)2- (x +1)(x +3)] =0
<=> x +2 = 0 <=> x = - 2
Vậy pt (1) có nhgiêm x = - 2.



0,25đ


0,25đ


0,25đ


0,25đ



b)

Do đó:
(x+y+z)2=
( vì a2 + b2 + c2 = 1) (0,25 điểm)

x2 + y2 + z2 + 2xy +2yz + 2xz = x2 + y2 + z2 (0,25 điểm)

2xy +2yz + 2xz = 0

xy + yz + xz = 0


0,25



0,25đ


0.25,đ



0,25 điểm

Bài 3
1,0đ


(*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.


Vậy có 2 cặp số nguyên
hoặc


0,25




0,25
0,25đ





0,25đ





Bài 4
4,0đ









0,25đ


Học sinh c/m:
ABF =
ADK (g.c.g) suy ra AF = AK
Trong tam giác vuông: KAE có AD là đường cao nên:

hay
(không đổi)
0.5
0,5


HS c/m

Mặt khác:
. Suy ra:
:

0,25

0,25

0,5


Giả sử đã dựng được điểm N thỏa mãn. NP + NQ = MN
Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy ra tam giác NN’M cân tại N
MN’ là phân giác của

Cách dựng điểm N:
- Dựng M’ đối xứng M qua AD
- Dựng phân giác
cắt DM’ tại N’
- Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD
Chú ý: Học sinh có thể không trình bày phân tích mà trình bày được cách dựng vẫn cho điểm tối đa.





0.25

0.25
0.25