ĐỀ HSG TOÁN 8-D.ÁN

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
MÔN : Toán 8. Thời gian làm bài: 120 phút
ĐỀ BÀI.
Câu 1 (2 điểm) : Cho biểu thức A =

a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1
Câu 2 (3 điểm):
a) Chứng minh rằng: Với mọi x ( Q thì giá trị của đa thức :
M =
là bình phương của một số hữu tỉ.
b) Giải phương trình

Câu 3 (1,5 điểm): Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0.
Hãy tính giá trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6)
Câu4 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng:
a) DE song song với AC
b) DE =DF; AE =AF.
Câu5 (1 điểm): Chứng minh bất đẳng thức:


-----------------------------Hết--------------------------------

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
MÔN : Toán 8. Thời gian làm bài: 120 phút
ĐỀ BÀI.
Câu 1 (2 điểm) : Cho biểu thức A =

a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1
Câu 2 (3 điểm):
a) Chứng minh rằng: Với mọi x ( Q thì giá trị của đa thức :
M =
là bình phương của một số hữu tỉ.
b) Giải phương trình

Câu 3 (1,5 điểm): Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0.
Hãy tính giá trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6)
Câu4 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng:
a) DE song song với AC
b) DE =DF; AE =AF.
Câu5 (1 điểm): Chứng minh bất đẳng thức:


-----------------------------Hết--------------------------------
B. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
MÔN: Toán 8
Câu
Đáp án
Thang điểm

1
a/ A =
=
b/ Với mọi x ≠ - 1 thì A =
Vì




1,0







1,0

2
a/ Ta có: M =
Đặt a = x2 + 10x + 16
suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2
M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( đpcm)
b/










0,5



1,0


0,5

1,0


3
Ta có: P(x)
(x-1), (x-3), (x-5)
Nên P(x) có dạng: P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a)
Khi đó: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a)
= -105.(-2+a) +105.(6+a)
= 105.( 2 –a +6 +a) = 840

0,5

1,0



4
a/ Vẽ hình


a) Chứng minh được:



hay

b) Do
nên

(1)
Tương tự,


Từ (1) và (2) suy ra


Mà
và

Nên

Ta có



AE =AF
0,25











1








0,5


0,25


0,5


5
Gọi vế trái là A, ta có: