Đề HSG cấp huyện

đề thi chọn học sinh giỏi
môn: Toán 8
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)



Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức


a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
b) Rút gọn A.
c) Nếu x; y là các số thực thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?
Bài 2 (4 điểm):
a) Giải phương trình :


b) Tìm các số x, y, z biết :
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
và

Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n
thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và

b) Cho
và
. Tính SEBC?
c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.
d) Kẻ

. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh
.
Bài 5 (2 điểm):
a) Chứng minh bất đẳng thức sau:

(với x và y cùng dấu)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
(với
)









đáp án và hướng dẫn chấm
môn: Toán 8




Bài 1: (4 điểm)
Điều kiện: x

y; y
0 (1 điểm)
A = 2x(x+y) (2 điểm)
Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A
+ Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1
2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1

2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2
A + (x – y + 1)2 = 2

A = 2 – (x – y + 1)2
(do (x – y + 1)
(với mọi x ; y)
A
2. (0,5đ)
+ A = 2 khi



+ A = 1 khi
Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn:

+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
a)













b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx

2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0

(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0





x2009 = y2009 = z2009
Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010

z2009 = 32009

z = 3
Vậy x = y = z = 3

Bài 3 (3 điểm)
Cần chứng minh: n5 – n
10
- Chứng minh : n5 - n
2
n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1)
2 ( vì n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp)
- Chứng minh: n5 – n
5
n5 - n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5
- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n
2.5 tức là n5 – n
10
Suy ra n5 và n có chữ số tận cũng giống nhau.
Bài 4: 7 điểm
hv 0,5đ