Đề+Đáp án HSG-Toán8-2011.doc

Phòng GD-ĐT
h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc
ĐỀ CHỌN HSG TOÁN 8
Ngày thi : 05-5-2011 ( Thời gian làm bài 120 phút )


Bài 1 : (4 điểm)
1, Cho x,y thoả mãn
. Tính
.
2, Tính
Bài 2 : (4 điểm)
1, Tìm a,b sao cho
chia hết cho đa thức

2,Tìm số nguyên a sao cho
là số nguyên tố
Bài 3 : (3 điểm)
Giải phương trình :

Bài 4 : (4 điểm)
Cho hình thoi ABCD có góc ABC bằng 60 độ . Hai đường chéo cắt nhau tai O , E thuộc tia BC sao cho BE bằng ba phần tư BC , AE cắt CD tại F . Trên hai đoạn AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho CG song song với FH .
1, Chưng minh rằng
2, Tính số đo góc GOH
Bài 5 : (3 điểm)
Cho tan giác ABC ba điểm M,N,P lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB sao cho

. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm
Bài 6 : (2 điểm)
Cho các số dương x,y,z thoả mãn điều kiện
.Chứng minh rằng :



HẾT.
gv: Nguyễn Quang Sáng (sưu tầm)


ĐÁP ÁN

Bài 1 : (4 điểm)
1, Từ:


.
Vì
.Nên

Ta có :
.
2, Tính
Với
, ta có
Áp dụng vào bài toán ta có :
Bài 2 : (4 điểm)
1, Ta có :
Vì
chia hết cho đa thức
.Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)

Với
Với
Thay (1) vào (2) . Ta có :
2,Ta có :
Vì
Có

Và

Vậy
là số nguyên tố thì
hoặc

Nếu
thử lại thấy thoả mãn
Nếu
thử lại thấy thoả mãn
Bài 3 : (3 điểm)
Điều kiện :
Với x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Với
phương trình
trở thành

. Đặt phương trình (*) trở thành
Điều kiện :
Phương trình trở thành
Với y = 0 thì
phương trình vô nghiệm
Với y = -3 thì
thoả mãn điều kiện
Vậy tập nghiệm của phương trình là

Bài 4 : (4 điểm)

1, Chứng minh
đồng dạng


Theo định lý Thales tính được

2, Theo định lý Pythagos tính được

Ta có
. Nên đồng dạng

Suy ra



Bài 5 : (3 điểm)
Qua N kẻ NQ //AB ( Q thuộc BC ) , theo định lí Thales ta có :




Gọi I, K là trung điểm của MQ và MN . Suy ra IK là đường trung bình của tam giác MNQ
Vậy

Gọi G là giao điểm cua AI và PK theo Thales có

Suy ra G là trọng tâm của tam giác MNP và G là trọng tâm của tam giác ABC


Bài 6 : (2 điểm)
Ta có :
Lại có :

Nên
Bài 6 : (2 điểm)
Cho các số dương x,y,z thoả mãn điều kiện
.Chứng minh rằng :


Ta có :



Dấu bằng xảy ra khi