Đề- đáp án HSG Toán 8- Tam Dương 16-17

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG


ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 01 trang

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay!
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức
. Biết
.
b) Tìm x, y nguyên dương thoả mãn: x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = 0.
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Tìm số dư trong phép chia của đa thức
cho đa thức
.
b) Cho A = n6 + 10n4 + n3 + 98n – 6n5 – 26 và B = 1 + n3 – n. Chứng minh với mọi
thì thương của phép chia A cho B là bội số của 6.
Câu 3. (2,0 điểm)
a) Cho a và b thỏa mãn: a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức B = a3 + b3 + 3ab.
b) Cho các số thực dương
thỏa mãn
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng AB và AC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh DE + DF = 2AM.
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF.
c) Kí hiệu SX là diện tích của hình X. Chứng minh S2FDC
16 SAMC.SFNA.
Câu 5. (1,0 điểm) Trong một đề thi có 3 bài toán A, B, C. Có 25 học sinh mỗi người đều đã giải được ít nhất một trong 3 bài đó. Biết rằng:
- Trong số thí sinh không giải được bài A thì số thí sinh đã giải được bài B nhiều gấp hai lần số thí sinh đã giải được bài C.
- Số học sinh chỉ giải được bài A nhiều hơn số thí sinh giải được bài A và thêm bài khác là một người.
- Số thí sinh chỉ giải được bài A bằng số thí sinh chỉ giải được bài B cộng với số thí sinh chỉ giải được bài C.
Hỏi có bao nhiêu thí sinh chỉ giải được bài B?
------------- Hết -------------
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm!
Họ tên thí sinh...................................................................Số báo danh.................Phòng thi..................
PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2016 -2017
MÔN: TOÁN 8

Câu
Nội dung
Điểm

Câu1
2 điểm
a)x2 – 2y2 = xy ( x2 – xy – 2y2 = 0
( (x + y)(x – 2y) = 0
Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0 ( x = 2y .
Khi đó P =


0,25
0,25

0,5


b) Ta có :
x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = 0
(x2+2x+1) - (y2+4y+4) – 7 = 0

(x+1)2 - (y+2)2 = 7
(x – y - 1)(x + y + 3) = 7
Vì x, y nguyên dương
nên x + y + 3 > x – y – 1 > 0
x + y + 3 = 7 và x – y – 1 = 1

x = 3; y = 1
Phương trình có nghiệm dương duy nhất (x , y) = (3 ; 1)


0,25

0,5

0,25

Câu 2
2 điểm
a) Ta có

Đặt
, biểu thức P(x) được viết lại:


Do đó khi chia
cho t ta có số dư là 2002
Vậy số dư phải tìm là 2002.


0,25

0,5

0,25


Thực hiện phép chia, ta được:
Thương của A chia cho B là n3 – 6n2 + 11n – 6
Ta có:


Vì (n-1).n.(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tích đó vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 suy ra tích đó chia hết cho 6
Mặt khác 6(2n-n2-1) chia hết cho 6
=> ương của phép chia A cho B là bội số của 6

0,25

0,25

0,25
0,25


Câu 3
2