DE+_DAP_AN_HSG_Toan_8

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI năm 2009 - 2010
MÔN : TOÁN Lớp : 8
(Thời gian làm bài : 120 phút)
................*O*..................


Bài 1 :( 1,5 điểm)
a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử

b) Tìm giá trị nguyên của x để A
B biết
A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .
Bài 2 : (1,5 điểm) Cho x + y = 1 và x y
0 . Chứng minh rằng


Bài 3 : ( 2,5 điểm)
a) Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
b) Chứng minh rằng :

c) Cho a2 – 4a +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức
P =

Bài 4 : ( 1,0 điểm) Tìm a để M có giá trị nhỏ nhất
M =
với a
o
Bài 5 : (2,5 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh DE + DF = 2AM
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF
c) Chứng minh S2FDC
16 SAMC.SFNA
Bài 6 : ( 1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC tại D. Tìm tỉ số


Hết






HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1 : ( 1,5 điểm)
a) ( 0,75đ) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4 ( 0,25 đ )
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) ( 0,25 đ)
= ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 ( 0,25 đ)
b) (0,75đ) Xét
( 0,25 đ)
Với x
Z thì A
B khi

Z
7
( 2x – 3) ( 0,25 đ)
Mà Ư(7) =

x = 5; -2; 2 ; 1 thì A
B ( 0,25 đ)
Bài 2 : ( 1,5 đ) Biến đổi
=

=
( do x+y=1
y-1=-x và x-1=- y) (0,25đ)
=
(0,25đ)
=
(0,25đ)
=
=
(0,25đ)
=
=
(0,25đ)
=
Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)
Bài 3 : ( 2,5 điểm)
a) ( 0,75đ) Gọi 3 số nguyên liên tiếp là n-1; n; n+1 ( n
Z )
Ta có ( n-1)3 +n3 + ( n+1)3 = 3n3+6n (0,25đ)
= 3n3 -3n +9n = 3n(n2 -1) +9n
= 3n (n-1) (n+1) +9n (0,25đ)
Vì

3n (n-1) (n+1) + 9n
9 (0,25đ)
b) (1đ) Ta có (x+1)2
0
2( x+1)2
0
2x2+4x+2
0

3x2+3x+3
x2-x+1
3(x2+x+1)
x2-x+1 (*)
Tương tự, ta có từ (x-1)2
0
3(x2-x+1)
x2+x+1 (**) (0,25đ )
Vì x2-x+1 = ( x-
)2 +
> 0 (0,25đ)
Chia 2 vế của bất đẳng thức (*) cho x2-x+1
ta có
(0,25đ)
Chia 2 vế của bất đẳng thức (**) cho x2-x+1
ta có
suy ra đccm (0,25đ)
c) (0,75đ) Ta có a2 - 4a + 1 = 0
a2 – a + 1 = 3a

=3 (0,25đ)
P =
= 3 .
(0,25đ)
Mà
= 3+2 = 5