Đề + Đáp án HSG

ĐỀ I
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức: M =


a) Rút gọn b) Tìm giá trị bé nhất của M .
Bài 2: (2 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên A =

Bài 3: (2 điểm) Giải phương trình :
x2 - 2005x - 2006 = 0 b)
+
+
= 9
Bài 4: (3 điểm) Cho h/vuông ABCD. Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC. Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE. Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G. C/minh :
AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi . b)
AEF ~
CAF và AF2 = FK.FC
c)Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi .
Bài 5: (1 điểm )a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 ( x.‎y + x + y ‎( với mọi x ;y)
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A =

ĐỀ II
Bài 1: Cho biểu thức: A=

a) Tìm giá trị của biểu thức A xác định. b) Tìm giá trị của biểu thức A có giá trị bằng 0.
c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 2: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A=
với x > 0.
b) Giải phương trình:( x+1( +( 2x-1( + 2x =3
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có diện tích S. Gọi K, L, M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, BC, CD, AD sao cho AK/ AB = BL / BC = CM/CD = DN/DA= x.
a) Xác định vị trí các điểm K,L,M,N sao cho tứ giác MNKL có diện tích mhỏ nhất.
b) Tứ giác MNKL ở câu a là hình gì? cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MNKL là hình chữ nhật.
Bài 4: a) Tìm dư của phép chia đa thức x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1
b) Cho 3 số x,y,z Thoã mãn x.y.z = 1. Tính biểu thức M =

ĐỀ III

Bài 1: (3đ). a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
A = x3 +8x2 + 19x +12 . B = x3 +6x2 +11x +6 .
b)Rút gọn phân thức:
.
Bài 2: (3đ). 1) Cho phương trình ẩn x:

Giải phương trình với a = 4.
Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận x = -1 làm nghiệm.
2) Giải bất phương trình sau: 2x2 + 10x +19 > 0.
Bài 3: (3đ). Trong hình thoi ABCD người ta lấy các điểm P và Q theo thứ tự trên AB và CD sao cho AP = 1/ 3 AB và CQ = 1/ 3 CD. Gọi I là giao điểm của PQ và AD, K là giao điểm của DP và BI, O là giao điểm của AC và BD.
Chứng minh AD = AI, cho biết nhận xét về tam giác BID và vị trí của K trên IB.
Cho Bvà D cố định tìm quỹ tích của A và I.
Bài 4: (1đ). a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: yx2 +yx +y =1.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B =
với x # 0
ĐỀ IV
Bài 1: Cho biểu thức: A =

Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định. Rút gọn biểu thức A.
Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: a) Giải phương trình:

b) Tìm a, b để: x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho x2 + x + 1
Bài 3: Cho h/thang ABCD; M là một điểm tuỳ ý trên đáy lớn AB. Từ M kẻ các đường thẳng song song với hai đường chéo AC và BD. Các đường thẳng này cắt hai cạnh BC và AD lần lượt tại E và F. Đoạn EF cắt AC và BD tại I và J.
a) Chứng minh rằng nếu H là trung điểm của IJ thì H cũng là trung điểm của EF.
b) Trong trường hợp AB = 2CD, hãy chỉ ra vị trí của M trên AB sao cho EJ = JI = IF.
Bài 4: Cho a (