De+dap an chuyen+k.chuyen hai duong

Sở giáo dục và đào tạo
hảI Dương

Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
Nguyễn trãi - năm học 2011 - 2012
Môn thi: Toán
gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 30 tháng 6 2011
(Đề thi : 01 trang)

Câu 1: (2 điểm)
1) Cho ba số ; và Chứng minh rằng trong ba số có ít nhất một số bằng 2.
2) Tính giá trị biểu thức
Câu 2: (2 điểm)
1) Giải phương trình:
2) Giải hệ phương trình:
Câu 3: (2 điểm)
1) Giả sử và là các số nguyên dương sao cho là một số nguyên. Gọi là một ước số chung bất kì của và Chứng minh rằng
(Kí hiệu là số nguyên lớn nhất không vượt quá
2) Cho và là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức Chứng minh rằng là một số hữu tỉ.
Câu 4: (3 điểm)
Từ một điểm D nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến DA và DB đến đường tròn (A và B là các tiếp điểm). Tia nằm giữa hai tia DA và DO; cắt đường tròn tại hai điểm C và E (E nằm giữa C và D), đoạn thẳng OD cắt đoạn thẳng AB tại M.
Chứng minh rằng:
1) Tứ giác OMEC nội tiếp.
2)
3)
Câu 5: (1 điểm)
Giả sử là các số dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức


----- Hết -----
Họ tên thí sinh: ……………………………………………. Số báo danh: …….…........…………
Chữ kí của giám thị 1: …….…………… Chữ kí của giám thị 2: ……………….........…..……

Sở giáo dục và đào tạo
hảI Dương

hướng dẫn chấm + biểu điểm môn Toán
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Nguyễn trãi - năm học 2011 - 2012




Đáp án + Biểu điểm
Câu
ý
Đáp án
Điểm

1
1
Xét biểu thức
(1)
0.25



Ta có (2)
0.25



mặt khác nên 3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
0.25



Do đó trong ba số phải có ít nhất một số bằng 2
0.25


2
Ta chứng minh đẳng thức (*)
(với n là số nguyên dương)
0.25



Thật vậy
(1)
Hơn nữa (2)
Từ (1) và (2) suy ra
0.25



áp dụng (*) với n = 1, 2, …, 2011
Ta được các đẳng thức


……

0.25



Cộng theo vế ta nhận được :



0.25

2
1
Điều kiện:
Phương trình tương đương với

0.25




0.25



Ta có (thoả mãn)
0.25



(thoả mãn)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 1.
0.25


2

Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được: (4)
Lấy (2) trừ (3) theo vế ta được: (5)
Lấy (4) trừ (5) theo vế ta được:


(do (4) nên
(