Đề&Đ.án HSG vòng 3 huyện Yên Thành năm 2010-2011

Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn thi : Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút


Câu 1: a) Cho A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n (n+1)(n+2).
Chứng minh rằng
là số tự nhiên
b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:


Câu 2:
a) Giải phương trình sau:


b) Giải hệ phương trình:


Câu 3: a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3.
Chứng minh rằng:

.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Đường tròn (M; R) tiếp xúc với AB ở P, tiếp xúc với AC ở Q. Điểm K chạy trên cung nhỏ PQ (K khác P, Q). Tiếp tuyến của đường tròn (M; R) tại K cắt AB, AC lần lượt tại E, F.
Chứng minh góc BME bằng góc MFC.
Xác định vị trí của điểm K sao cho diện tích tứ giác BEFC nhỏ nhất.
Câu 5: Cho tam giác ABC, I là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt BC, CA, AB lần lượt tai M, N, K. Chứng minh rằng:



-------------------Hết----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm







HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010-2011- MÔN TOÁN 9

Câu
Nội dung
Điểm

Câu 1
4,5đ
a
2,5đ
Ta có: n(n + 1)(n + 2) =
n (n + 1)(n + 2). 4=
n(n + 1)(n + 2).
0.5



=
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) -
n(n + 1)(n + 2)(n - 1)
0.5



4A =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . +n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
- n(n + 1)(n + 2)(n - 1) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3).
1.0



4A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
=
Vậy
là số tự nhiên.
0.5


b
2.0đ


Vì 4y2+2>0 nên (y4 + y2 + 4) -4 < y4 + y2+4<( y4 + y2+4) + (4y2 +2)
0.5





0.5



Hay y2 (y2 +1)Do đ ó x (x-1) = (y2+1)(y2+2)
0.5



Suy ra (y2+1)(y2+2)= y4+y2+4
2y2=2



x2 – x - 6=0
x=-2 hoặc x=3
Nghiệm là (-2;1); (3;1); (-2;-1); (3;-1)
0.5

Câu 2
4,5đ
a
2,5đ
ĐK:
.
Đặt

0.5




Ta có hệ PT

1.0






0.5




Giải các hệ trên ta có nghiệm của phương trình là x = 1; x = 4
0.5


b 2,0đ


0.75



Nếu
thì phương trình (1) vô nghiệm. Nếu
thì phương trình (2) vô nghiệm. Do đó hệ chỉ có nghiệm khi

0.75



Suy ra nghiệm của hệ là x = 1, y = 2, z = 1 và x = -1, y = -2, z = -1.
0.5

Câu 3
(4đ)
a
2.0đ