De co dap an toan 5

suy nghĩ mới
từ một bài toán
quen thuộc

Phan duy nghĩa
Phó Hiệu trưởngTrường tiểu học Sơn Long,
Hương Sơn, Hà Tĩnh

T
RONG nhiều cuốn sách tham khảo toán tiểu học có đề cập đến bài toán sau: "Cho hình tam giác ABC. Trên AB, BC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho AB = 3AD; BC = 4BE. Nối A với E, C với D. AE cắt CD tại M. Tính tỉ số
Nghiên cứu kĩ bài toán này các bạn sẽ thấy có nhiều điều thú vị sau:
Thứ nhất, bài toán có nhiều cách giải
Sau đây xin trình bày các cách giải đó:
Cách 1.


Nối B với M. Vì AB = 3AD nên AD = BD. Hai tam giác ACD và DCB có đáy AD và DB, chung chiều cao hạ từ C tới AB nên SACD = SDCB. Mặt khác, hai tam giác này có chung đáy CD nên từ tỉ số diện tích trên, ta suy ra tỉ số các chiều cao tương ứng AH = BI (1). Vì BC = 4BE nên BC = EC. Hai tam giác BMC và EMC có đáy BC và EC, chung chiều cao hạ từ M tới BC nên SBMC = SEMC. Mặt khác, hai tam giác này có chung đáy MC nên từ tỉ số diện tích ở trên suy ra tỉ số các chiều cao tương ứng là: BI = EK (2). Từ (1) và (2), ta có: AH = BI = xEK = EK. Hai tam giác MAC và MEC có chung cạnh đáy MC, từ tỉ số các chiều cao AH = EK suy ra SMAC = SMEC. Hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ C tới AE nên đáy MA = ME. Vậy =
Cách 2.



Nối B với M ta có: Hai tam giác MBC và MEC có đáy BC = EC và có chung chiều cao hạ từ M xuống BC, suy ra: SMBC = SMEC. Hai tam giác ACD và CBD có đáy AD = BD và có chung chiều cao hạ từ C xuống AB, suy ra: SACD = SBCD. Hai tam giác ACD và BCD có chung đáy CD nên chiều cao hạ từ A xuống CD bằng chiều cao hạ từ B xuống CD. Hai tam giác BMC và AMC có chung cạnh MC và có chiều cao gấp đôi nhau, suy ra: SAMC = SBMC. Mặt khác, hai tam giác ACM và MCE có chung chiều cao hạ từ C xuống AE, suy ra:
MA SAMC SAMC x SBMC
ME SMEC SMEC x SBMC
= x= Vậy: =
Cách 3.



Nối B với M (như hình vẽ). Ta có: SACE = SABE x 3. Vì đáy EC = 3BE. Mà hai hình tam giác ACE và ABE chung đáy AE nên chiều cao hạ từ C xuống AE gấp 3 lần chiều cao hạ từ B xuống AE. SABM = SADM x 3 (1). Vì chúng chung chiều cao hạ từ M xuống AB và có AB = 3AD.
SACM = SABM x 3 (2). Vì chung đáy AM và có chiều cao gấp 3 lần nhau. Từ (1) và (2), ta có: SACM = SADM x 9. Coi SADM là 1 phần thì SACD là 10 phần. Hay: SACD = SADM x 10. Mà: SACD = SABC . Vì đáy AD = AB và có chung chiều cao hạ từ C tới AB. Nên: SABC = SADM x 10 x 3 = SADM x 30. Mặt khác, ta có: SABM + SACM = SADM x 3 + SADM x 9 = SADM x 12. Suy ra: SBCM = SADM x (30 - 12 ) = SADM x 18 và SBME = SBCM : 4 = SADM x 18 : 4 = SADM x 4,5.
SABM MA SADM x 3 2
SBME ME SADM x 4,5 3
Vậy: =
Cách 4.



Nối B với M. Lập luận như cách 3, ta có: