De chuyen toan tin THPT chuyen Quoc Hoc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ Khóa ngày 24.6.2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (CHUYÊN TIN)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2,0 điểm)
Giải phương trình
.
Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn hệ phương trình:
.
Tính giá trị của biểu thức:
.
Bài 2: (1,5 điểm)
Tìm một cặp số nguyên
để có
.
Áp dụng để rút gọn biểu thức:
.
Bài 3: (1,5 điểm)
Quãng đường AB dài 300km. Cùng một lúc một xe tải khởi hành từ A đi đến B và một ô tô con khởi hành từ B đi về A. Sau khi hai xe gặp nhau, ô tô con đi thêm 2 giờ nữa mới tới A. Biết vận tốc xe tải kém vận tốc ô tô con là 20 km/h, vận tốc ô tô con lớn hơn 30km/h. Tính vận tốc mỗi xe.
Bài 4: (2,25 điểm)
Cho điểm T ở ngoài đường tròn (O ; R). Gọi TA và TB là hai tiếp tuyến (A, B là các tiếp điểm). Gọi M là điểm thuộc đoạn AB (M ≠ A, M ≠ B). Đường thẳng qua M và vuông góc với OM cắt các tia TA, TB lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng:
Điểm M là trung điểm của đoạn CD.
Tứ giác TCOD là tứ giác nội tiếp.
Bài 5: (1,0 điểm)
Tìm khoảng cách (trên mặt đất) của hai thành phố P và Q (kết quả làm tròn đến km), biết rằng thành phố P ở vị trí kinh độ
Đông và vĩ độ
Bắc; thành phố Q ở vị trí kinh độ
Đông và vĩ độ
Bắc. Cho bán kính của Trái Đất khoảng 6400 km.
6: (1,75 điểm)
a) Trên một tấm ván hình chữ nhật có ba cái cọc. Ở một cọc có
cái đĩa hình tròn có đường kính nhỏ dần từ dưới lên (hình bên). Số lần ít nhất cần có để chuyển cả 3 đĩa sang một cọc khác là bao nhiêu ? Biết rằng mỗi lần chỉ di chuyển một đĩa sang cọc khác sao cho đĩa với đường kính lớn luôn nằm dưới đĩa có đường kính bé hơn.
b) Theo quy tắc như trên, số lần ít nhất cần có để chuyển chồng đĩa có
đĩa; có
đĩa sang một cọc khác là bao nhiêu ? Hãy viết công thức tổng quát để tính số lần ít nhất cần có để chuyển chồng n đĩa sang một cọc khác với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2.
Hết

SBD thí sinh: ............... Chữ ký GT1: ................................SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ Khóa ngày 24.6.2011
Môn: TOÁN (CHUYÊN TIN)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài
ý
Nội dung
Điểm

1


2,0


1.a
Giải phương trình

+ Điều kiện
.
Phương trình tương đương


+ Đặt
,
.
Ta có phương trình
(loại)

(thỏa điều kiện).
Vậy: Phương trình đã cho có hai nghiệm
,
.


0,25

0,25


0,25

0,25


1.b
+ Ta có:

Theo giả thiết:
và
, nên:

Bình phương 2 vế ta được:


Ta có:


Suy ra:




0,25

0,25




0,50

2


1,50


2.a



Suy ra:
Vì 29 là số nguyên tố, nên
, từ (*) suy ra:
.
Từ (**) suy ra
nên
. Thay
và
vào (**) nghiệm đúng.
Vậy:



0,25


0,25



0,25



2.b
Theo câu a) ta có:
nên:






0,25



0,25

0,25


3


1,50



Gọi vận tốc của xe con là x (km/h), (x > 30)
Vận tốc của xe tải là x ( 20 (km/h)
Quãng đường xe con đi được sau khi gặp xe tải là
(km)
Quãng đường xe con đi được trước khi hai xe gặp nhau là:
(km).