De chon HSG Toan - Dap an

Phòng GD tp Đồng hới
ường THCS Đồng Mỹ

Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố
môn toán - lớp 8 . Năm học 2008-2009
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)



Bài 1. ( 2,0 điểm) Chứng minh rằng:
a) Với mọi anếu a và b không chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
b) Với mọi n
thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 2. ( 2,0 điểm)
a) Giải phương trình
b) Tìm các số x, y, z biết :
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
và

Bài 3. ( 1,5 điểm) Chứng minh rằng:
Nếu a, b, c là các số dương thoả mãn:

thì ta có bất đẳng thức

Bài 4. ( 1,5 điểm) Cho 6a - 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 + 25b2
Bài 5. ( 3,0 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh:
Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN.





Phòng GD tp Đồng hới
ường THCS Đồng Mỹ

đáp án – biểu điểm
môn toán - lớp 8 . Năm học 2008-2009


Bài 1. a) (1,0 điểm)
a không chia hết cho 3 nên a có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k
)
Nếu a = 3k+1 thì a2 = (3k+1)2 = 9k2+ 6k +1 chia 3 dư 1.
Nếu a = 3k+2 thì a2 = (3k+2)2 = 9k2+ 12k + 4 chia 3 dư 1.
Vậy nên nếu a không chia hết cho 3 thì a2 chia 3 dư 1.(1)
Tương tự ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì b2 chia 3 dư 1.(2)
Từ (1) và (2) ta có a2-b2
3 (3) (0,5
Ta có a6-b6 = (a2-b2)[(a2)2+a2b2+(b2)2] = (a2-b2)[( a2)2 - 2a2b2+(b2)2+3a2b2]
= (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2]
Theo c/m trên a2-b2
3 => (a2-b2)2
3 mà 3a2b2
3 với mọi a
nên (a2-b2)2+ 3a2b2
3 (4)
Từ (3) và (4) suy ra (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2]
3.3 hay a6-b6
9 (0,5
b) (1,0 điểm)
Ta cần chứng minh: n5 – n
10
* Chứng minh : n5 - n
2
n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1)
2 (0,25
(vì với n
ta có n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp)
* Chứng minh: n5 – n
5
n5 - n = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
5
( Vì với n
ta có n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) là tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và 5n( n – 1)( n + 1 )
5 với mọi n
) (0,5
Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n
2.5 tức là n5 – n
10
Suy ra n5 và n có chữ số tận cũng giống nhau. (0,25
Bài 2. a) 1,0 điểm
x2+