Đáp án_Đề thi HSG_Toán 9_Đồng Nai_2012-2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG NAI

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2012 – 2013

Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút.
Ngày thi: 05/4/2013
(Đề thi này gồm một trang, có năm câu)


Câu 1 ( 4 điểm).
Cho đa thức P(x) = x3 + 3ax + 2b, với x là biến số thực, a và b là các số thực cho trước thỏa a3 + b2
0.
Tính giá trị của đa thức P(x) tại x =

Câu 2 (4 điểm) . Giải hệ phương trình:
(với x
và y
)
Câu 3. (3,5 điểm).
Cho các số nguyên dương m, n, k thỏa mãn m.n = k2 và ước chưng lớn nhất của các số m, n, k bằng 1.
Chứng minh rằng m, n là số chính phương.
Câu 4. (4 điểm)
Cho S là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 1000.
Tính số phần tử của tập hợp S là bội của 3.
Tính số phần tử của tập hợp S không là bội của 2 và không là bội của 3.
Câu 5 (4, 5 điểm)
Cho tứ giác HIJK có
, 0 Gọi (I) là đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng HK tại H. Gọi (J) là đường tròn tâm J và tiếp xúc với đường thẳng HK tại K. Đường tròn (I) cắt đường tròn (J) tại M và N, với hai điểm M và H nằm khác phía đối với đường thẳng IJ. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng HK; đường thẳng d cắt đường tròn (I) tại A (A
M); đường thẳng d cắt đường tròn (J) tại điểm B, với (B
M). Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng AH VÀ BK. Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng MN và HK.
1) Chứng minh HK là đường trung bình tam giác ABC.
2) Chứng minh rằng DH = DK.


-------- Hết --------HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1 ( 4 điểm).
Cho đa thức P(x) = x3 + 3ax + 2b, với x là biến số thực, a và b là các số thực cho trước thỏa a3 + b2
0.
Tính giá trị của đa thức P(x) tại x =

Giải:

Vậy giá trị của đa thức P(x) tại x =
là 0.
Câu 2 (4 điểm) . Giải hệ phương trình:
(với x
và y
)
Giải:

+ TH1:

+ TH2:
hoặc

Vậy hệ có 3 nghiệm:
;
;

Câu 3. (3,5 điểm).
Cho các số nguyên dương m, n, k thỏa mãn m.n = k2 và ước chưng lớn nhất của các số m, n, k bằng 1.
Chứng minh rằng m, n là số chính phương.
Giải: + Nếu m = 1, thì n = k2 , suy ra m và n là các số chính phương.
+ Nếu n = 1, thì m = k2, suy ra m và n là các số chính phương.
+ Nếu m, n đều khác 1, giả sử m không phải là số chính phương.
Khi đó, khi phân tích ra thừa số nguyên tố, m luôn chứa 1 thừa số nguyên tố p1 với số mũ lẻ. Do m.n = k2 nên trong dạng phân tích của k2 ra thừa số nguyên tố chứa thừa số nguyên tố p1 với số chẵn (vì k2 là số chính phương). Do đó trong dạng phân tích ra thừa số nguyên tố, n chứa thừa số nguyên tố p1 (với số mũ lẻ).
Suy ra m
p1 ; n
p1 ; k
p1 (Do k2
p1 và p1 là số nguyên tố) hay ƯCLN(m, n, k) khác 1 mâu thuẫn với giả thiết, suy ra m là số chính phương. Khi m là số chính phương thì n là số chính phương.
Tương tự trong trường hợp n không phải là số chính phương cũng vô lí.
Vậy m, n là các số chính phương.
Câu 4. (4 điểm)
Cho S là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 1000.
1) Tính số phần tử của tập hợp S là bội của 3.
2) Tính số phần tử của tập hợp S không là bội của 2 và không là bội của 3.
Giải:
Số phần từ của tập hợp S là bội của 3 là: (999 – 3):3 + 1