Cụm từ tiếng việt

Bài tập chương I
§1.
1. a) Bảng cộng của tập hợp Z/2Z các số nguyên mod 2:

+




















Xét song ánh

f: X
Z/2Z
a


b



Bây giờ trong bảng cộng của X ta thay a bằng
và b bằng
, thì ta được bảng cộng y hệt bảng cộng của Z/2Z.
b) Nhìn bảng cộng của X, ta thấy ngay phép cộng của X là giao hoán, có a là phần tử trung lập. Muốn chứng minh phép toán kết hợp, ta phải xét xem các tổng sau đây có bằng nhau:
?
(a + b) + a = a + (b + a)
?
(a + b) + b = a + (b + b)
Xin các bạn đọc hãy kiên nhẫn làm, ta chỉ có 16 tổng phải tính thôi vì
có 8 phần tử. Nhưng theo câu a) hai bảng cộng của X và Z/2Z là như nhau nếu ta không phân biệt a với
và b với
, vậy ta có thể kết luận phép cộng của X là kết hợp vì ta đã biết phép cộng của Z/2Z là kết hợp.
2. a) Bảng cộng của Z/3Z

+





































b) Xét song ánh sau:



Từ đó ta có thể lập bảng cộng sau đây cho X, dựa trên bảng cộng của Z/3Z
Để phép toán của X là giao hoán, kết hợp, có phần tử trung lập

+
a
b
c

a
a
b
c

b
b
c
a

c
c
a
b


3. Theo định nghĩa của phép toán (kí hiệu +) của X, ta luôn luôn có
x + y = a,
. Một phép toán như vậy hiển nhiên là giao hoán và kết hợp vì:
x + y = a = y + x,

(x + y) + z = a + z = a = x + a =x + (x + z),

Giả sử
.bNếu e là phần tử trung lập ta phải có
e + x = x.
Nhưng e + x = a theo định nghĩa của phép toán, vậy x = a, mâu thuẫn với việc lấy
. Vậy phép toán không có phần tử trung lập.
Trong trường hợp X = {a}, hiển nhiên phép toán là giáo hoán, kết hợp và có phần tử trung lập.

§ 2.
2. Trên tập hợp
các số tự nhiên khác 0, cho
ta luôn luôn có UCLN (ước chung lớn nhất) của a và b. Như vậy ta có thể coi ta có một phép toán trên
. Ta kí hiệu


Ta hãy xem phép toán đó có các tính chất mà ta đã nêu trong (1.4 và 1.5) hay không? Hiển nhiên, theo định nghĩa UCLN của hai số
, ta có tính chất giao hoán và kết hợp, nghĩa là




Với mọi
. Bây giờ ta thử tìm xem phép toán đó có phần tử trung lập e hay không? Nếu có, thì



Với mọi
, nghĩa là e phải là một số tự nhiên khác 0, bội của mọi số tự nhiên khác 0. Hiển nhiên không có một e như vậy. Do đó,
cùng phép toán
là một nữa nhóm giao hoán, nhưng không phải là một vị nhóm.
Ta cũng lập luận tương tự cho phép toán BCNN trên
. Ta sẽ thấy đối với phép toán này
là một vị nhóm giao hoán, phần tử trung hòa là số 1.
3. Các phần tử của P(X) là một bộ phận của tập hợp X. Ta chú ý tới hai bộ phận đặc biệt của X mà ta có xu hướng hay quên, đó là X và Ø .
Đối với phép giao hoán, hiển nhiên ta có tính giao hoán và tính kết hợp




Phần tử trung lập của phép toán chính bộ phận X, vì ta có với mọi
P(X),


Vậy P(X) là một vị nhóm giao hoán đối với phép giao.
Đối với phép hợp, P(X) cũng là một vị nhóm giao hoán, với Ø là phần tử trung lập. Nếu trong P(X), ta bỏ đi bộ phận Ø, thì ta chỉ