CHUYEN DE ỨNG DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT - SỐ NGUYÊN TỐ - SỐ CHÍNH PHƯƠNG

HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ VẤN ĐỀ CHIA HẾT, SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG
GV:Đ.Q.Thọ
A.Một số lý thuyết cần lưu ý:
1.Tính chia hết:
an-bn a-b ·an+bn a+b với n lẻ
an-bn a-b)(a+b) với n chẵn
(a+b)n a+b) a+b)n bn (mod a)
2.Số nguyên tố:
Để chứng minh một số n là hợp số ,ngoài 1
và chính nó ta còn phải chứng minh n còn chia hết cho một số khác.
Để tìm số nguyên tố p ta thường xét p dưới
dạng : p=3k+1;p=3k+2;p=3k suy ra p=3
p=5k1;p=5k2;p=5k suy ra p=5
3.Số chính phương:
Số chính phương là bình phương của số tự nhiên
Số chính phương không tận cùng bởi các số 2,3,7,8
Số chính phương chia hết 2 thì chia hết cho 4
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết 25
Số chính phương chia hết cho 23 thì chia hết cho 24 . . .
Số chính ph chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
Số chính ph chia 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
B.Bài tập:
1. Chứng minh mọi số lẻ n thì n4-10n2+9 chia hết cho 384
2. Chứng minh rằng các số sau là hợp số:
a) 420-1 b) 1000001
3. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố : 12n2-5n-25
4. Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương:
a) A=222….2224 (có 50 chữ số 2)
b) B=444 ….444 (có 100 chữ số 4)
5. Chứng minh số sau là số chính phương:
a)1156 b)11115556 c
6. Tìm số nguyên tố p để 4p+1 là số chính phương
7. Chứng minh rằng :
a) 270+370 13 b)1719+1917 18
c) 3663-1 7 nhưng 3663-1 37
8. Chứng minh rằng các số sau là hợp số:
a)1000027 ; b)250+1
9. Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức sau là số nguyên tố: 8n2+10n+3
10.Chứng minh rằng nếu p và p2+8 là các số nguyên tố thì p2 + 2 cũng là số nguyên tố
11. Chứng minh rằng nếu p và 8p2+1 là các số nguyên tố thì 2p + 1 cũng là số nguyên tố
12. Tìm số nguyên tố p để 2p2+1 cũng là số nguyên tố
13. Tìm số nguyên tố p để 4p2+1 và 6p2+1 cũng là các số nguyên tố
14. Các số sau có chính phương không:
a) A = 19947+7 b) B=1444. . . 4 (99 số 4)
15.Tổng các số sau có là chính phương không: S = 12 + 22 + 32 +. . . . + 562
16. Các số sau là bình phương của số nào:
a)A = b)