CHUYÊN ĐỀ HSG TOÁN 8: GTLN-GTNN

CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
A. Các kiến thức thường sử dụng là:
+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức:
;
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”.
+ Bất đẳng thức:
(BĐT: Bunhiacopxki);
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
.
+
; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab
0.
+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Nếu
thì min y = a khi f(x) = 0.
Nếu
thì max y = a khi f(x) = 0.
+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2).
C. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC
Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:


B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)


Giải:
a)


Min A = 10 khi
.
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)
= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36
-36

Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.
c)

= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2
2

Min C = 2 khi x = 1; y = 2.
Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:
A = 5 – 8x – x2
B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
Giải:
a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21
21

Max A = 21 khi x = -4.
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7
= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7
7

Max B = 7 khi x = 1,
.
Bài toán 3: Tìm GTNN của:




Giải:
a)

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x)
0 hay



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x)
0 hay

Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi
.
b)

Đặt
thì t
0
Do đó N = t2 – 3t + 2 =

.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Do đó
khi

Vậy min
hay
.
Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.
Giải:
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2




Ngoài ra: x + y = 1
x2 + y2 + 2xy = 1
2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1
=> 2(x2 + y2) ≥ 1
Do đó
và

Ta có:
và

Do đó
và dấu “=” xảy ra

Vậy GTNN của

Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2.
Giải:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

[(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0

x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2

(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2
Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2
Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 0


Vì t = x2 + y2 nên :
GTLN của x2 + y2 =

GTNN của x2 + y2 =