Chuyên đề chứng minh chia hết

chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8
Nam h?c: 2009-2010
Tru?ng : THCS L� Q�i Dơn
Ngu?i so?n: Ph?m Th? Thu H?ng
GV: Ph?m Th? Thu H?ng - T? KHTN
Chăo m?ng câc th?y c� giâo v? d? ti?t h?c h�m nay
Chuyín d?
M?t s? phuong phâp ch?ng minh chia h?t
A- Kiến Thức ghi nhớ.
D?nh l� v? phĩp chia trong t?p h?p Z.
a)D?nh l�: Cho 2 s? nguyín a ,b, v?i b khâc 0, khi d� c� 2 s?
nguyín q vă r duy nh?t sao cho:a = b.q + r v?i| b|>r ?0
a: Lă s? b? chia, q: Lă thuong. r: lă s? du.
Khi a chia cho b th� du c� th? lă 0 ; 1 ; 2; ... | b| -1.

.D?c bi?t khi r = 0 th� a = b.q, ta n�i a chia h?t cho b
hay b lă u?c c?a a. K� hi?u: a b


b) T�nh ch?t:


*Nếu a b và b c  a c.


*Nếu tích ab c và ( b,c)=1  a c.



* Nếu a b, a c và (b,c)=1  a bc



B- Một số dạng toán.
1.Dạng 1. Sử sụng tính chất:”Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n, n ≥1”.
2. Dạng 2. Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
3. Dạng 3. Sử dụng phép chía có dư.
4. Dạng 4. Sử dụng đồng dư.
5. Dạng 5. Tìm chữ số tận cùng của một số.
6. Dạng 6. Sử dụng nguyên tắc Điriclê.
7. Dạng 7. Sử dụng định lí Fecma
8. Dạng 8. Sử dụng phương pháp qui nạp.

I.D?ng 1. S? s?ng t�nh ch?t: "Trong n s? nguyín liín ti?p c� m?t vă ch? m?t s? chia h?t cho n, n ?1".

Băi toân 1. Ch?ng minh r?ng:
a) T�ch hai s? ch?n liín ti?p th� chia h?t cho 8.
b) T�ch ba s? nguyín liín ti?p chia h?t cho 6.
c) T�ch nam s? nguyín liín ti?p chia h?t cho 120.
giải: a)
-Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n và 2n+2 (với n Z)
nên tích của chúng là: 2n( 2n+2)= 4n(n+1).
-Mà n và (n+1) là hai số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2  n(n+1) 2  4.n(n+1) 8
-Vậy tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
(Đpcm)
b) -Gọi ba số nguyên liên tiếp là: (n-1), n,(n+1) (với n Z) ta có tích của chúng là: A= (n-1)n(n+1).
- Trong A có một bội của 2, một bội của 3, mà (2,3)=1 nên: A 2.3 hay A 6.
- Vậy tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 (đpcm)
T? băi toân 1b) ta c� băi toân c�ng n?i dung sau:
Ch?ng minh r?ng: n3-n chia h?t cho 6.
.
Băi 1 c)
-Ta c�: 120 = 3.5.8.
- T�ch c?a 5 s? nguyín liín ti?p c� d?ng:
A= (n-2) (n-1)n(n+1)(n+2) ( v?i n lă s? nguyín).


-Trong 5 s? nguyín liín ti?p c�:
+ M?t b?i c?a 3 ? A 3 <1>
+M?t b?i c?a 5 ? A 5 <2>
-Ta c?n ch?ng minh A 8.

-Th?t v?y:
+) N?u n lă s? ch?n th� n vă (n+2) lă 2 s? ch?n liín ti?p.
+) N?u n lă s? l? th� (n+1) vă (n-1) lă 2 s? ch?n liín ti?p.
Nín: trong A c� �t nh?t 2 th?a s? ch?n liín ti?p ? A 8 <3>
( theo băi toân 1a)
- L?i c� 3, 5 vă 8 d�i m?t nguyín t? c�ng nhau nín :
T? <1>, <2> vă <3 >suy ra: A 3.5.8 hay A 120
-V?y t�ch c?a 5 s? nguyín liín ti?p chia h?t cho 120. (dpm)

I.D?ng I. S? s?ng t�nh ch?t"Trong n s? nguyín liín ti?p c� m?t vă ch? m?t s? chia h?t cho n, n ?1".

-Ta dê ch?ng minh du?c :
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia h?t cho 120.
-Hêy th? t�m hi?u xem băi toân trín c� th? ra d? du?i h�nh th?c khâc nhu th? năo?
Tr? l?i: ( n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)= n5- 5n3+ 4n.
-V?y ta c� băi toân kh� hon nhung c�ng n?i dung v?i băi 1c).
Băi toân: Ch?ng minh r?ng :
n5 - 5n3 + 4n chia h?t cho 120.

-Để giải bài toán này ta dùng các phương pháp phân tích đa tnức thành nhân tử , khi đó ta được bài toán quen (Bài 1c).



I.D?ng 1. S? s?ng t�nh ch?t: "Trong n s? nguyín liín ti?p c� m?t vă ch? m?t s? chia h?t cho n, n ?1".

Băi toân 2. Ch?ng minh r?ng: n5-n chia h?t cho 30 v?i n lă s? nguyín.


Gi?i: * Câch 1. Phđn t�ch n5-n thănh m?t t?ng, trong d� c� m?t s? h?ng lă
t�ch c?a 5 s? nguyín liín ti?p, s? h?ng kia c� m?t th?a s? b?ng 5 nhu sau: n5-n = n(n4-1)
= n(n2-1)(n2+1)
= n(n2-1)( n2-4+5)
= n(n2-1)(n2-2)+ 5n(n2-1)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ 5(n-1)n(n+1) ( v?i n lă s? nguyín)
-Ta th?y: +) (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) lă t�ch c?a 5 s? nguyín liín ti?p nín chia h?t cho: 2.3.5=30 ( theo băi toân 1c).
+) (n-1)n (n+1) 6 ( Theo băi toân1 b) ? 5(n-1)n(n+1) 6.5.
Suy ra:(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ 5(n-1)n(n+1) 30
-V?y : n5-n chia h?t cho 30 ( n lă s? nguyín) (dpcm)
Bài 2.Chứng minh rằng:
n5-n chia hết cho 30 với n là số nguyên.
Gi?i:* Câch 2. Xĩt hi?u gi?a n5-n vă t�ch c?a 5 s? nguyín liín ti?p:
(n5 -n )- ( n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) = (n5- n) -( n5- 5n3+4n)
= 5n3- 5n
=5( n-1)n(n+1)
-Ta th?y (n-1)n(n+1) lă t�ch c?a 3 s? nguyín liín ti?p,nín:
(n-1) n (n+1) 6 ? 5 (n-1)n(n+1) 5.6
? (n5-n) -(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) 30
-L?i c� : (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) 30 ( Theo băi 1c)
Suy ra : n5 -n chia h?t cho 30 (Dpcm)
-T? băi toân 2 em c� nh?n xĩt g� v? ch? s? t?n c�ng c?a hi?u ( n5 - n)?
-Tr? l?i: Hi?u c� t?n c�ng lă 0.
-T? d� hêy nh?n xĩt v? ch? s? t?n c�ng c?a n5 vă n ? Vă ta l?i c� băi
toân du?i h�nh th?c khâc nhu th? năo?
Băi toân Ch?ng minh r?ng:
n vă n5 c� ch? s? t?n c�ng gi?ngnhau ( v?i n lă s? nguyín)
I.D?ng 1. S? s?ng t�nh ch?t: "Trong n s? nguyín liín ti?p c� m?t vă ch? m?t s? chia h?t cho n, n ?1".

Băi toân 3. Cho P lă s? nguyín t? l?n hon 3, ch?ng minh r?ng: p2 -1 chia h?t cho 24.
Gi?i: Ta c�: p2 -1= (p-1)(p+1)
-Do P lă s? nguyín t? l?n hon 3 nín P lă s? l? vă P kh�ng
chia h?t cho 3.
-V� P lă s? l? nín (p-1) vă (p+1) lă hai s? ch?n liín ti?p nín:
(p-1)(p+1) chia h?t cho 8 <1> ( Theo băi toân 1a).
-M?t khâc : (p-1)p(p+1) 3 ( Theo băi toân 1b)
mă P kh�ng chia h?t cho 3
? (p-1) 3 ho?c ( P+1) 3 ? (p-1)(p+1) 3 <2>.
-L?i c� (3,8)=1, nín t? <1> vă <2> suy ra (p-1)(p+1) 3.8
- V?y (p-1)(p+1) chia h?t cho 24 (Dpcm)
Băi toân 4. Cho m, n lă hai s? ch�nh phuong l? liín ti?p. Ch?ng minh r?ng mn-m -n +1 chia h?t cho 192
Gi?i: -Hai s? ch�nh phuong l? liín ti?p c� d?ng:
m = (2k-1)2 vă n=(2k+1)2 (v?i k Z)
-Do d�:
mn-m-n+1 =(m-1)(n-1)
= ((2k-1)2-1)((2k+1)2-1)
=(4k2- 4k)(4k 2 + 4k)
=16(k-1)k.k(k+1)
-Ta c�:(k-1)k(k+1) 3 <1> ( Theo băi toân 1b)
(k-1)k.k(k+1) 4 <2> ( Hai t�ch c?a 2 s? nguyín liín ti?p)
-L?i c� (3,4)=1, nín t? <1> vă <2> suy ra: k2(k-1)(k+1) 12
16k2(k-1)(k+1) 16.12
V?y: mn-m-n+1 192 (Dpcm)
Băi t?p v?n d?ng:
Băi1. Ch?ng minh r?ng:
T�ch c?a 4 s? nguyín liín ti?p chia h?t cho 24.
T�ch c?a 6 s? nguyín liín ti?p chia h?t cho 720
T�ch c?a ba s? ch?n liín ti?p chia h?t cho 48
Băi 2. Cho a, blă hai s? l? kh�ng chia h?t cho 3. Ch?ng minh r?ng:
a2-b2 chia h?t cho 24
Băi 3. Ch?ng minh r?ng :
n4+6n3+11n2+6n chia h?t cho 24. ( V?i n lă s? nguyín)
n4-4n3-4n2+16n chia h?t cho 384 (v?i n lă s? ch?n, n>4)
Băi 4 Cho a, b lă câc s? nguyín kh�ng chia h?t cho 5.Ch?ng minh r?ng :
a5-b5 chia h?t cho 5
Băi 5. Ch?ng minh r?ng t�ch c?a ba s? nguyín liín ti?p trong d� s? ? gi?a
lă l?p phuong c?a m?t s? t? nhiín. th� chia h?t cho 504.
Phần này thực hiện trong 60 phút. Các phần tiếp theo sẽ được gửi sau.