Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Dấu hiệu chia hết

4/27/2009
TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHIA HẾT
Một số a chia hết cho một số x (x ≠ 0) thì tích của số a với một số (hoặc với một tổng, hiệu, tích, thương) nào đó cũng chia hết cho số x.

Tổng hay hiệu 2 số chia hết cho một số thứ ba và một trong hai số cũng chia hết cho số thứ ba đó thì số còn lại cũng chia hết cho số thứ ba.

Hai số cùng chia hết cho một số thứ 3 thì tổng hay hiệu của chúng cũng chia hết cho số đó.

Trong hai số, có một số chia hết và một số không chia hết cho số thứ ba đó thì tổng hay hiệu của chúng không chia hết cho số thứ ba đó.

Hai số cùng chia cho một số thứ ba và đều cho cùng một số dư thì hiệu của chúng chia hết cho số thứ ba đó.

Trong trường hợp tổng 2 số chia hết cho x thi tổng hai số dư phải chia hết cho x


Bài 2:
Một số chia cho 3 dư 2; chia cho 5 dư 4.
Hỏi chia cho 15 dư bao nhiêu?

Nhận xét:
- Em có nhận xét gì về các số dư trong phép chia cho 3 và 5?
- Để chia hết cho 3 và 5 thì số đó phải như thế nào?
- Số chia hết cho 3 và 5 thì chia hết cho số nào?
- Một số thêm 1 thì chia hết 15 vậy số đó chia cho 15 dư bao nhiêu?

Bài 3:
Có 6 hòm xà phòng cân nặng lần lượt: 22kg; 23 kg; 26kg; 28kg; 29kg và 31 kg. Có 2 người lấy ra 5 hòm. Người này lấy gấp 4 lần người kia. Hỏi hòm nào để lại?
Nhận xét:
- Chi tiết người này lấy gấp 4 lần người kia cho ta biết điều gì?
- 6 hòm cân nặng bao nhiêu kg?
- Em có nhận xét gì về kết quả phép chia 159 cho 5 (dư mấy)?
- Để thoã mãn điều kiện trên thì hòm để lại phải như thế nào?

Giải:
Tổng số hòm cân nặng là:
22+23+26+28+29+31=159(kg)
Vì khối lượng (kg) người này lấy ra gấp 4 lần người kia nên số kg lấy ra của hai người là một số chia hết cho 5.
Mặt khác, vì: 159 : 5 dư 4
Nên hòm để lại cũng phải là một số chia cho 5 dư 4.
Trong các hòm trên chỉ có hòm 29 kg là thoã mãn điều kiện trên (29 : 5 dư 4).
Vậy hòm 29 kg là hòm để lại.




Bài 4:
Cứ 7 ngày một lần người đưa báo đến nhà Micky để đưa Tuần báo. Cứ 6 ngày người đưa sữa đem sữa đến nhà Micky một lần. Ngày 01/02 vừa rồi hai người cùng đến nhà Micky. Hỏi khi nào (ngày nào, tháng nào) hai người lại cùng đến nhà Micky?

Nhận xét:
- Tích chung nhỏ nhất của hai số (hay số nhỏ nhất chia hết cho 6 và 7) là bao nhiêu?
- Họ gặp nhau lần vừa rồi vào ngày nào, tháng nào?
- Tháng 2 có bao nhiêu ngày?
- Từ đó tìm ra được ngày gặp nhau.

Giải:
Ta thấy: 7  6 = 6  7 = 42, nên tính từ ngày gặp nhau vừa rồi thì sau 42 ngày nữa họ lại gặp nhau.
Tháng 2 có 28 ngày (hoặc 29 ngày nếu là năm nhuận) nên sẽ xẩy ra 2 trường hợp:
- Nếu tháng Hai có 28 ngày thì họ sẽ gặp nhau vào ngày:
42 – (28 – 1) = 15 của tháng tới.
- Nếu tháng Hai có 29 ngày thì họ sẽ gặp nhau vào ngày:
42 – (29 – 1) = 14 của tháng tới.
Vậy: Họ sẽ gặp nhau vào ngày:
15 hoặc 14 tháng Ba.


Bài 5:
Có 18 que có độ dài lần lượt là: 1cm; 2cm; 3cm; ...; 17cm; 18cm. Hỏi từ các que và độ dài như trên, ta có thể:
a. Ghép thành một hình vuông?
b. Ghép thành một hình chữ nhật?
c. Ghép thành hình một tam giác đều?
(Lưu ý độ dài các que khi ghép không thay đổi)
Nhận xét:
- Em có n.xét gì về đặc điểm các hình trên?
- Để ghép được một hình vuông thì tổng độ dài các que phải như thế nào?
- Để ghép được một hình chữ nhật thì tổng độ dài các que phải như thế nào?
- Để ghép được một hình tam giác đều thì tổng độ dài các que phải như thế nào?




Bài 6:
An mua 9 quyển vở, Đào mua 6 quyển vở. Hai bạn góp số vở của mình với số vở của Chi rồi chia đều cho nhau. Chi tính rằng phải trả các bạn 12.000 đồng. Tính giá tiền mỗi quyển vở. Biết rằng cả ba bạn đều mua cùng một loại vở.
Nhận xét:
- Số vở được góp lại chia đều cho 3 bạn cho ta biết điều gì?
- Chi phải trả cho các bạn 12.000đ điều đó chứng tỏ số vở của Chi so với 2 bạn như thế nào?
- Em thấy số vở của An, Đào như thế nào, từ đó em có nhận xét gì về số vở của Chi?
- Bằng cách lập luận, xem xét các mối quan hệ của bài toán để tìm ra cách giải.


Giải:
Vì số vở của 3 bạn được chia đều như nhau nên tổng số vở cả 3 bạn chia hết cho 3.
Số vở của An và Đào là: 9 + 6 = 15 (q’) chia hết cho 3, nên số vở của Chi cũng là một số chia hết cho 3.
Mặt khác, vì Chi phải trả cho các bạn 12.000 đồng, chứng tỏ số vở của Chi là ít nhất và bé thua 6. Suy ra, số vở của Chi chỉ có thể là 3. Vậy:
Số vở của mỗi bạn sau khi chia đều là:
(9 + 6 + 3) : 3 = 6 (quyển)
Số vở Chi được chia thêm là:
6 - 3 = 3 (quyển)
Giá tiền mỗi quyển vở là:
12.000 : 3 = 4.000 (đồng)
Đáp số: 4.000 đồng.