Chuyên đề bất đẳng thức jensen

Phần II:Bất đẳng thức Jensen
2.1. Nội dung bất đẳng thức:
Định lí 1 (Jensen):
Nếu y = f(x) là hàm lồi trong khoảng (a,b) thì với mọi
x1,…xn
(a,b) và mọi số thực
ta có bất đẳng thức:


Chứng minh:
+) Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp theo n.
- Với n=2 bất đẳng thức đúng theo định nghĩa.
- Giả sử bất đẳng thức đúng với n ≥ 2. Ta chứng minh bất đẳng thức đúng cho n+1.
- Xét x1,…,xn, xn+1 ( (a,b) và các số thực


- Từ giả thiết quy nạp ta có bất đẳng thức:



- Vì f(x) là hàm lồi nên:


Vậy
(đpcm)
Kết quả 1: Với n=2, f(x) là hàm lồi trong khoảng (a,b), (x,y ((a,b)
ta có:



Kết quả 2: Giả sử f(x) là hàm lồi trong khoảng (0: +(). Khi đó:



Chứng minh:
Vì f(x) là hàm lồi trong khoảng (0.() khi đó áp dụng bất đẳng thức
Jensen ta có:



(đpcm)
2.2. Các hệ quả
Hệ quả 1:
Với mọi x1,…., xn, y1,…yn,

Ta có các bất đẳng thức sau:
a)

b)


c)
cho mọi xij ≥ 0 và

d) (Cauchy)

Chứng minh:
a) Khảo sát hàm số f(x) = -lnx, x > 0
- Vì
nên f(x) là hàm lồi
- Sử dụng bất đẳng thức Jensen ta được:



(đpcm)
b) Bất đẳng thức:



- Theo (a) ta có:




- Cộng hai bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh
c) Sử dụng (b) để chứng minh (c) bằng quy nạp theo m.
+ m=1 bất đẳng thức đúng
+ m=2 bất đẳng thức đúng theo (b)
- Giả sử bất đẳng thức đúng đến m. Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với m+1.
- Thậy vậy, ta có:







=
(đpcm)
d) Được suy ra từ câu (a) qua việc chọn


Hệ quả 2: Nếu xi, yi ≥ 0 và
, thì


Chứng minh:
- Qua việc thay thế
qua xi và
qua yi, theo bài tập trên ta có:


- Cộng tất cả các bất đẳng thức này ta được:


Hệ quả 3: (Cauchy - Holder):
Nếu a, b > 0, a+b = 1 và các ai, bi ≥ 0, i=1,…,n thì:


Chứng minh:
- Nếu thay các
và

- Từ hệ quả trên ta có:





(đpcm)
- Nếu a = b =
thì ta có bất đẳng thức Bunhiakowski


Hệ quả 4 (Minkowski):
Nếu 0 < a < 1 và ai, bi > 0, i = 1,…,n thì:


Chứng minh:
- Với a+b=1 áp dụng hệ quả (3) ta có:




=

=>


Vậy:


Định lí 2:
Cho
. Khi đó bất đẳng thức:
f(x1)+…+f(xn) ≥ nf(
) (I)
đúng với mọi n ≥ 2 khi và chỉ khi (I) đúng với n = 2
Chứng minh:
* Điều kiện cần: hiển nhiên.
* Điều kiện đủ:
- Giả sử (I) đúng với n = 2. Khi đó (I) đúng với n = 2k, k = 1, 2,…
- Giả sử bất đẳng thức (I) đúng với (n+1) số bất kì x1,… xn, xn+1 tức:
f(x1)+…+f(xn)+f(xn+1) ≥ nf (
)
- Lấy xn+1 = x =
suy ra: