Chương IV. §4. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Chuyên đề:
phương trình
hệ phương trình
bất phương trình
phương trình bậc nhất một ẩn
Hệ thống lý thuyết:

- Phương trình 1 ẩn:
Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là 2 biểu thức của cùng 1 biến x.
Chú ý:
+ Hệ thức x = m (với m là 1 số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó.
+ Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ..., nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào gọi là phương trình vô nghiệm.

- Phương trình tương đương:
Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương.
- Phương trình bậc nhất một ẩn:
Phương trình dạng ax + b = c, với a và b là hai số đã cho và , được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
- Quy tắc biến đổi phương trình:
+ Quy tắc chuyển vế:
Trong một phương trình, ta có thể chuyển vế một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
+ Quy tắc nhân với một số:
Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác không.
Trong một phương trình, ta có thể chia cả hai vế với cùng một số khác không.
- Cách giải phương trình bậc nhất
Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Phương trình:


Vậy phương trình bậc nhất ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất .
Hệ thống bài tập:
Phương trình đưa được về dạng ax + b =0.
Loại 1: Dạng phương trình không chứa phân thức
Cách giải: Thực hiện các phép tính và chuyển vế để đưa phương trình về dạng ax = c
Ví dụ : Giải phương trình:
Phương pháp giải:
Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc

Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia
Thu gọn và và giải phương trình nhận được
Bài tập:
Bài 11 :Giải các phương trình:

Bài 10 : Tìm chỗ sai và sửa lại các bài giải cho đúng
Bài 13 : Bạn Hoà giải phương trình


(vô nghiệm)

Theo em, bạn Hoà giải đúng hay sai? Em sẽ giải phương trình đó như thế nào?
Bài 17 :Giải các phương trình:




Bài 19 :Giải các phương trình sau:
Loại 2: Phương trình chứa phân thức
Cách giải:
B1: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu
B2: Thực hiện các phép tính và chuyển vế để đưa phương trình về dạng ax = c.
Ví dụ: Giải phương trình:
Giải:
Bài tập:
Bài 12 :Giải các phương trình




Bài 18 :Giải các phương trình
Bài 53 : Giải các phương trình






Bài 53 :Giải phương trình
Bài 20 : Giải các phương trình sau




Bài 22: Giải các phương trình sau
Bài 25: Gải các phương trình sau
Chú ý:
- Khi giải một phương trình, người ta thường tìm cách biến đổi để đưa phương trình đó về dạng đã biết cách giải (đơn giản nhất là dạng ax+b=0 hay ax=-b). Việc bỏ dấu ngoặc hay quy ồng mẫu chỉ là những cách thường dùng để nhằm mục đích đó. Trong một vài trưòng hợp, ta còn có những cách biến đổi khác đơn giản hơn.
- Quá trình giải có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng 0. Khi đó, phương trình có thể vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x.
2. Phương trình tích.
Loại 1: Phương trình dạng A(x)B(x)=0
Cách giải:
Để giải phương trình A(x)B(x)=0, ta giải phương trình A(x)=0 và B(x)=0, Rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.
Ví dụ: Giải phương trình: (2x-3)(x+1)=0
Ta có:


Ta giải hai phương trình:

và
Bài tập:
Bài 21: Giải các phương trình



Bài 26: Giải các phương trình sau
Loại2: Phương trình chứa hằng đẳng thức
Cách giải:
+ Thực hiện các phép tính về hằng đẳng thức và phép nhân đa thức ở cả hai vế
+ Biến đổi phương trình về dạng ax=c
+ Giải phương trình rồi kết luận.
Ví dụ:
Giải:
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình
Loại 3: Phân tích vế trái được thành nhân tử
Cách giải:
B1: Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích bằng cách chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái, rút gọn rồi phân tích đa thức thu được ở vế trái thành nhân tử
B2: Giải phương trình tích rồi kết luận

Ví dụ: Giải phương trình
Giải:









Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S={0;-2,5}

Bài tập:
Bài 22: Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình sau




Bài 23 : Giải các phương trình
Bài 24 : Giải các phương trình



Bài 25 : Giải các phương trình



Bài 51
Bài 28
Bài 30
Bài 31
3. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Cách giải:
B1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
B2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu
B3: Giải phương trình vừa nhận được
B4: Kết luận
Ví dụ: Giải phương trình
Giải:
ĐKXĐ:
Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu



Giải phương trình (b):

x=0 (thỏa mãn ĐKXĐ)
(loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy PT (a) có 1 nghiệm x=0
Bài tập:
Bài 27 : Giải các phương trình
Bài 28 : Giải các phương trình





Bài 30, 31
Bài 38, 40, 41, 42
4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Cách giải:
B1: Lập phương trình:
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
B2: Giải phương trình
B3: Trả lời: Kiểm tra xem trong cácnghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãnđiều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Ví dụ:
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?
Giải:
- Gọi x là số gà, với điều kiễn phải là số nguyên dương và nhỏ hơn 36.
Khi đó số chân gà là 2x. Vì cả gà lẫn chó có 36 con nên số chó là 36-x và số chân chó là 4(36-x). Tổng số chân là 100 nên ta có phương trình:

- Giải PT


- Kiểm tra lại, ta thấy x = 22 thỏa mãn các điều kiện của ẩn. Vậy số gà là 22 (con). Từ đó suy ra số chó là 36-22=14 (con).

Bài tập:
Bài tập 1:
Cau nhỏ mỗi quả chia 3
Cau to mỗi quả chia làm 10
Lễ cưới vừa đúng trăm người
Mỗi người một miếng cau tươi nhai trầu
Hỏi: ? quả cau to, ? quả cau nhỏ.
Biết rằng có 17 quả

Bài 34, 35, 36
Bài 37, 38, 39
Bài 40 - > 49
Bài 54, 55, 56
Bài 43 - > 61
Bài 67, 68, 69, 70, 71
bất phương trình bậc nhất một ẩn

Hệ thống lí thuyết

1. ĐN bất đẳng thức
Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a b, a b) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.
2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với ba số a, b và c ta có:
Nếu a < b thì a+c < b+c; Nếua b thì a+c b+c
Nếu a > b thì a+c > b+c; Nếu a b thì a+c b+c
3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
- Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương: khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với ba số a,b và c mà c > 0 ta có:
Nếu a < b thì ac < bc; Nếu a b thì ac bc
Nếu a > b thì ac > bc; Nếu a b thì ac bc
- Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm: khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với ba số a,b và c mà c < 0 ta có:
Nếu a < b thì ac > bc; Nếu a b thì ac bc
Nếu a > b thì ac < bc; Nếu a b thì ac bc
4. Tính chất bắc cầu của thứ tự
Với ba số a,b và c ta thấy rằng nếu a < b và b < c thì a < c
Tương tự, các thứ tự lớn hơn ( >), nhỏ hơn hoặc bằng( ), lớn hơn hoặc bằng ( ) cũng có tính chất bắc cầu.
5. Tập nghiệm của bất phương trình
Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình. Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.
6. Bất phương trình tương đương
Người ta gọi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu " " để chỉ sự tương đương đó.
7. Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình dạng ax + b < 0 ( hoặc ax + b > 0, ) trong đó a và b là hai số đã cho, , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
8. Hai quy tắc biến đổi bất phương trình
a) Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của BPT từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.
b) Quy tắc nhân với một số: Khi nhân 2 vế của BPT với cùng một số khác 0, ta phải:
- Giữ nguyên chiều của BPT nếu số đó dương;
- Đổi chiều BPT nếu số đó âm.

9. Giải BPT bậc nhất một ẩn : ax + b < 0 ( )
Nếu a> 0 ta có nghiệm của BPT là: x < -

Nếu a< 0 ta có nghiệm của BPT là: x> -

Tương tự cho các BPT: ax+b >0; ax+b 0; ax+b 0
10. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
T a phá dấu giá trị tuyệt đối theo quy tắc:

Hệ thống bài tập
Dạng 1:So sánh
1.1. Phương pháp giải: Dựa vào tính chất về liên hệ giữa thứ tự và phép cộng và liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
1.2. Ví dụ: Cho a< b, hãy so sánh:
a) a+1 và b+1
Theo tính chất về liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, ta có vì a b) a-2 và b-2
- Theo tính chất về liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, ta có vì a1.3. Một số bài tập
Bài 3(SGK8, tập2-T37): So sánh a và b nếu:
a)
b)
Bài 6(SGK8,tập2-T39). Cho a< b, hãy so sánh:
2a và 2b; 2a và a+b; -a và -b
Bài 7(SGK8,tập2-T40). Số a là số âm hay dương nếu:
12a<15a; 4a<3a; -3a> -5a
Bài 13(SGK8,tập2-T40). So sánh a và b nếu:
a) a+5 < b+5 b) -3a > -3b
c) d)
Bài 14(SGK8,tập2-T40). Cho aa) 2a+1 với 2b+1 b) 2a+1 với 2b+3
Bài 6(SBT8,tập2-T42). Với số a bất kì, so sánh:
a với a-1 b) a với a+2
Bài 25(SBT8,tập2-T43). So sánh và m nếu:
a) m lớn hơn 1;
b) m dương nhưng nhỏ hơn 1.
Dạng 2: Chứng minh
Phương pháp giải: Dựa vào liên hệ giữa thứ tự và phép cộng và liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, tính bắc cầu của thứ tự để giải
Ví dụ: Cho a> b. Chứng minh a+2> b-1
Giải:
Cộng 2 vào hai vế của bất đẳng thức a> b ta được a+2 > b+2 (1)
Cộng b vào hai vế của bất đẳng thức 2 > -1 ta được b+2 > b-1 (2)
Từ (1) và (2) theo tính chất bắc cầu, suy ra
a+2 > b-1
Một số bài tập
Bài 8(SGK8,tập2-T40). Cho a< b, chứng tỏ:
a) 2a-3 < 2b-3 b) 2a-3 < 2b+5
Bài 11(SGK8,tập2-T40). Cho a < b, chứng minh:
a) 3a+1 < 3b+1 b) -2a-5 > -2b-5
Bài 38(SGK8,tập2-T53). Cho m>n, chứng minh:
a) m+2 > n+2 c) 2m-5 > 2n-5
b) -2m < -2n d) 4-3m < 4-3n
Bài 17(SBT8,tập2-T43). Cho a>0, b>0, nếu a và
b) và

Bài 28(SBT8,tập2-T43). Chứng tỏ rằng với a và b là các số bất kì thì:
a)

b)

Bài 30(SBT8,tập2-T44).
a) Chứng tỏ
b) Chứng minh rằng: Trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.

Bài 80(SBT8,tập2-T49). Cho a >0 và b> 0. Chứng tỏ rằng:

Dạng 3: Giải bất phương trình
Phương pháp giải:
Giải BPT bậc nhất một ẩn : ax + b < 0 (a 0 )
- Nếu a> 0 ta có nghiệm của BPT là: x < -

- Nếu a< 0 ta có nghiệm của BPT là: x> -

Tương tự cho các BPT: ax+b >0; ax+b 0; ax+b 0
Ví dụ: Giải bất phương trình: 3x+5 < 5x-7
Giải:
ta có 3x+5 < 5x+7




Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 6
Một số bài tập
Bài 24(SGK8,tập2-T47). Giải các BPT:
a)2x-1 > 5 b) 3x-2 < 4
c) 2-5x 17 d) 3-4x 19
Các bài tập 19, 20, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 40, 41, 42 ( SGK8, tập 2)
40, 41, 42, 43, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 62, 63, 74, 75, 82, 83, 85, 86, 87 ( SBT toán 8, tập 2).
Dạng 4: Giải và biện luận bất phương trình
Phương pháp giải:
Xét bất phương trình: ax +b > 0 ( hoặc ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0)
+) Nếu a=0 thì BPT 0x > - b
Nếu b > 0 thì BPT có nghiệm với
Nếu b 0 thì BPT vô nghiệm
+) Nếu a > 0 thì BPT

+) Nếu a < 0 thì BPT
Ví dụ: Giải và biện luận theo m BPT

Giải:

- Nếu m=0 ta có vô nghiệm
- Nếu m > 0 ta có

- Nếu m < 0 ta có
Một số bài tập
Bài 1. Giải và biện luận theo m các BPT:



Bài 2. Giải và biện luận theo m các BPT:
Dạng 5: Tìm sai lầm trong lời giải bài toán giải bất phương trình
Phương pháp giải: Khi giải BPT thường gặp các lỗi sai là:
- Không đổi chiều BPT khi nhân vào 2 vế của BPT với cùng một số âm
- Không xét dấu hệ số a của BPT khi giải PT chứa tham số.
- Nhầm lẫn trong tính toán
Một số bài tập:
Bài 34(SGK8,tập2-T49) Tìm sai lầm trong các lời giải sau:
a) Giải BPT: -2x > 23
Ta có
Vậy nghiệm của BPT là x > 25
b) Giải BPT:
Ta có:

Vậy nghiệm của BPT là x> -28
Dạng 6: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp giải:
Ta phá dấu giá trị tuyệt đối theo quy tắc:
Ví dụ
Giải phương trình:
Giải: Ta có

Do đó ta quy về giải 2 phương trình sau:
+) x-3 = 9-2x với điều kiện
Ta có
thoả mãn
+) -(x-3) = 9-2x với điều kiện x < 3
Ta có
không thoả mãn x < 3
Vậy tập nghiệm của phương trình ban đầu là:
Một số bài tập
Bài 36,37,45(SGK toán 8, tập 2)
65,66,67,68,69,70,88(SBT toán 8, tập 2).

III. Hệ hai PT bậc nhất hai ẩn
1. KN PT bậc nhất hai ẩn
2. Nghiệm của PT bậc nhất hai ẩn
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, mỗi nghiệm của PT
ax+by=c được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm
được biểu diễn bởi điểm có toạ độ
- Cho hai PT bậc nhất hai ẩn ax+by=c và a`x+b`y=c` khi
đó ta có hệ PT bậc nhất hai ẩn
Giải hệ PT là tìm tất cả các nghiệm ( tìm tập nghiệm) của nó
- Tập nghiệm của hệ (I) được biểu điểm bởi tập hợp các điểm chung của (d) và (d`)
Nếu (d) cắt (d`) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất
Nếu (d) song song với (d`) thì hệ (I) vô nghiệm
Nếu (d) trùng (d`) thì hệ (I) có vô số nghiệm
- Hai hệ PT được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
4. Phương pháp giải hệ PT bậc nhất hai ẩn
* Quy tắc thế
Bước 1: Từ một PT của hệ đã cho ( coi là PT thứ nhất) ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào PT thứ hai để được một PT mới ( chỉ còn một ẩn)
Bước 2: Dùng PT mới ấy để thay thế cho PT thứ hai trong hệ ( PT thứ nhất cũng được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1)
Tóm tắt cách giải hệ PT bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế
1) Dùng quy tắc thế biến đổi hệ PT đã cho để được hệ PT mới trong đó có PT một ẩn
2) Giải PT một ẩn vùa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
Chú ý: Nếu trong quá trình giải hệ PT bằng PP thế, ta thấy xuất hiện PT có các hệ số của hai ẩn đều bằng 0 thì hệ PT đã cho có thể có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm
Quy tắc cộng đại số
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai PT của hệ PT đã cho để được hệ PT mới
Bước 2:Dùng PT mới ấy thay thế cho 1 trong 2 PT của hệ ( và giữ nguyên PT kia)

Tóm tắt cách giải hệ PT bằng PP cộng đại số
1) Nhân hai vế của mỗi PT với một số thích hợp ( nếu cần) sao cho các hệ số của 1 ẩn nào đó trong 2 PT của hệ bằng nhau
2)áp dụng quy tắc cộng đại số để được PT mới, trong đó có một PT mà hệ số của 1 trong 2 ẩn bằng 0 ( tức là PT 1 ẩn)
3)Giải PT vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
5. Giải bài toán bằng cách lập hệ PT
Bước 1: Lập hệ PT
- Chọn 2 ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
- Biểu diễn các điều kiện chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập 2 PT biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ 2 PT nói trên
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ PT nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận
Dạng 1: Xác định cặp số đã cho có phải là nghiệm của PT bậc nhất hai ẩn ax+by=c
PP giải
Thay và . Nếu giá trị của vế phải bằng vế trái thì là nghiệm của PT đã cho
VD: Trong các cặp số và cặp số nào là nghiệm của
PT
Giải
+) Thay và vào PT đã cho ta có
VT=3.1+5.1=8 =VP
Vậy là nghiệm của PT đã cho
+) Thay và vào PT đã cho ta có

Vậy không là nghiệm của PT đã cho
Bài tập
Bài 1(sgk 9-tâp 2-tr7); Bài 1(sbt9-tập2-tr3)
Dạng 2: Cho PT bậc nhất 2 ẩn có chứa tham số m, tìm giá trị của tham số để điểm thuộc PT đường thẳng
PP giải
- Thế tọa độ điểm vào PT đường thẳng đã cho, khi đó ta được PT mới ẩn m
- Giải PT ẩn m ta tìm được giá trị của m
VD: Tìm giá trị của m để điểm thuộc đường thẳng
Giải
Thay vào PT đương thẳng ta được


Vậy với thì thuộc đường thẳng
Bài tập
Bài 3(sbt9-tập2-tr3)
Dạng 3: Cho PT đường thẳng (d) chứa thanm số m. Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua với mọi m

PP giải
- Gọi điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua với mọi m là

- Thay vào PT đường thẳng (d), chuyển vế để vế phải của PT đường thẳng (d) bằng 0 để được PT ẩn m
- Cho các hệ số tương ứng của PT ẩn m bằng 0 ta tìm được


VD: Cho đường thẳng , m là tham số. Tìm điểm cố định đường thẳng (d) đi qua với mọi m
Giải
Gọi là điểm cố định cần tìm. Khi đó ta có
Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm (-1,1)

Bài tập
Bài198b,202a( nâng cao và phát triển toán 9-tâp2-tr8)

Dạng 4: Viết PT đường thẳng AB đi qua hai điểm và


PP giải
Gọi đường thẳng AB có dạng
Thay và vào PT AB ta được hệ 2 PT
Giải hệ 2 PT tìm được a, b, c.
VD: Cho 2 điểm và . Viết PT đường thẳng AB
Giải
Gọi PT đường thẳng AB có dạng
Vì và nằm trên đường thẳng
ta có



Vậy PT đường thẳng AB là hay
Bài tập
Bài 20(sbt9-tập2-tr7), bài 29(sbt9-tập2-tr8), bài 205a( nâng cao và phát triển toán 9-tập2-tr8)
Dạng 5: Giải hệ PT bậc nhất hai ẩn
PP giải
Sử dụng PP thế hoặc PP cộng đại số để giải
VD1: Giải hệ PT


Giải



Vậy nghiệm của PT trên là
VD2: Giải hệ PT


Giải


Vậy nghiệm của hệ PT trên là

Bài tập
Bài 12,13,14,15,16,17 (sgk9-tâp2-tr15,16); bài 20,21,22,23,24 (sgk9-tập2-tr19); bài 16,17(sbt9-tập2-tr6); bài 25,26,27(sbt9-tập2-tr8)
Dạng 6: Cho hệ Pt chứa hệ số, xác định các hệ số để hệ PT nhận làm nghiệm

PP giải
- Thay vào hệ PT đã cho, ta được hệ PT mới
- Giải hệ PT mớiđó sẽ tìm được các hệ số
VD: Xác định các hệ số a, b để hệ có

nghiệm là (3,-2)
Giải
Vì (3,-2) là nghiệm của hệ ta có




Vậy với thì (3,-2) là nghiệm của hệ

Bài tập
Bài 18(sgk9- tập2-tr16); bài 18,19(sbt- tập2-tr6); bài 28(sbt9- tập2-tr8)
Dạng 7: Giải hệ PT đưa về hệ PT bậc nhất hai ẩn
PP giải
- Đặt các biểu thức tương ứng của hệ đã cho bằng ẩn X, Y đẻ đưa hệ đã cho về hệ PT bậc nhất hai ẩn
- Giải hệ Pt bậc nhất hai ẩn tìm được X,Y
- Thay X,Y vào biểu thức tương ứng đã đặt, giải hệ tìm được nghiệm của hệ đã cho
VD: Giải hệ PT



Giải
Đặt
Khi đó




Vậy nghiệm của hệ đã cho là
Bài tập
Bài 27(sgk9-tập2-tr20); bài 41b(sgk9-tập2-tr27); bài 24(sbt9-tập2-tr7); bài 27,30(sbt9-tập2-tr8)
Dạng 8: Giải các bài toán thức tế bằng cách lập hệ PT
PP giải
Bước 1: Lập hệ PT
- Chọn 2 ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
- Biểu diễn các điều kiện chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập 2 PT biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ 2 PT nói trên
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ PT nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận
VD: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị và viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngước lại thì được số mới ( có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị
Giải
- Gọi chữ số hàng chục cần tìm là a, chữ số hàng đơn vị là b

- Khi đó số cần tìm là 10a+b
- Vì hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị ta có PT: 2.b-a=1 hay a-2b=-1
- Khi viết hai chữ số ngược lại ta được số 10b+a
Số mới bé hơn số cũ 27 đơm vị ta có PT:
10a+b-(10b+a)=27 hay a-b=3

- Ta có hệ PT

Vậy số cần tìm là: 74
Bài tập
Bài 28,29,30(sgk9-tâp2-tr22); bài 31,32,33,34,35,36,37,38,39 (sgk 9- tập2-tr23,24,25); bài 43,44,45,46(sgk9-tập2-tr27)

phương trình bậc hai
A.Kiến thức
I.Định nghĩa
Phương trình bậc hai môt ẩn(nói gọn là phương trình bậc hai )là phương trình có dạng
a+b+c=0
trong đó x là ẩn,a,b,c, là những số cho trước gọi là các hệ số a0
vd1.+50x-15=0 với a=1,b=50,c=-15
vd2.-2+5x=0 với a=-2,b=5,c=0
vd3.2+8=0 với a=2,b=0,c=8
1.Công thức nghiệm
Phương trình bậc hai

: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.


Phương trình có nghiệm kép


Phương trình vô nghiệm

2.công thức nghiệm thu gọn
Phương trình bậc hai


phương trình có hai nghiệm phân biệt


. Phương trình có nghiệm kép


phương trình vô nghiệm
VD.giại pt



Pt vô nghiệm
VD2.giải pt







pt có 2 nghiệm bân biệt
III Hệ thức vi-et va ứng dụng
Nếu là hai nghiệm của phương trình


thì.


Muốn tìm hai số u vá v,biết u+v=s,uv=p ta giải pt


(Điều kiện để có u,v la )
Nếu a+b+c=0 thi pt
co hai nghiệm



.Nếu a-b+c=0 thi pt

co hai nghiệm
HÊ THốNG CáC BàI TậP Về PHƯƠNG TRìNH BậC HAI
1.Dạng 1:
Giải pt bâc hai
Cách giải
Dùng công thưc nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn hoăc ứng dụng hệ thức vi-ét
Bài1:Dùng công thưc nghiệm của pt bậc hai để giai pt(sgk 9tâp1)




Pt có hai nghiệm phân biệi


Pt có nghiệm kép
c

Pt vô nghiệm
Bai2.Dùng công thức nghiệm thu gọn giải các pt sau






Pt có hai nghiệm phân biệt





Pt có nghiệm kép





Pt vô nghiệm
Bai3:Dùng điều kiện a+b+c=0 hoặc a-b+c=0 để tính nhẩm nghiệm của pt(sgk l9 tâp2)


BT:giải pt bậc hai(sbt lơp 9 tập 2)
Dạng2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Cách giải:
Dùng hệ thức vi-et
Nếu tổng là s,tích là p thì hai số đó là nghiệm của phương trình
VD:Tìm 2 số u và v trong mỗi trường hợp sau
a)u+v-2, uv=9 b)u+v=-8,uv=-105
Giải:a)u,v là nghiệm của pt


Pt vô nghiệm
Vậ không u,v
b) u,v là nghiệm pt







Vởi u=7,v=-15 hoặc u=-15,v=7
BT:Tìm hai ssố u, v()
a)u+v=14, uv=40 b)u+v=-5, uv=-24
c)u+v=10 ,uv=24 d)u+v=4 ,uv=19
Dạng3:Giải va biện luận pt hai chưa tham số m
Cách giải: Dưa vao công thức để biện luận
VD:Giai va biện luận pt


Nêu pt có hai nghiệm pb


Nêu pt có nghiệm kép


Nêu 1-2m<0 pt vô nghiẹm
BT: giai và biện luận pt(sbt lơp 9 tập2)

Dạng 4:PT quy về pt bậc hai
PT trùng phương
Pt có dạng
Cách giải: Đặt ẩn phụ
ta có

VD:Giải pt (sgk 9 tập 2)







BT:((sbt 9 tâp 2)48: giải pt trùng phương
Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Cách giải: B1Tỉm đk xác định của pt
B2:Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức
B3:Giải pt vừa nhận được
B4: Tìm giá trị thoả mãn đk
VD(sgk 9 tập 2)Giải pt

TXĐ




ptpt có hai nghiệm
3) Phương trình tích
VD:Giải phương trìn






Vậy pt có 3 nghiẹm
BT( sgk 9 tập 2)
Bai34: GIải pt trùnh phương


Bai35: Giải pt




Bai36: Giải pt


Dạng5: Giai bài toán bằng cách lập phương trình
VD(sgk 9 tâp 2) Tìm hai số biêt tổng bằng 17 và tổng bình phương của chúnh là 157
Giải: gọi số thứ nhất là x(x>17)
Số thứ hai là 17-x
Tổng bình phương 2 số là 157 ta có






Vậy 2 số phải tìm la 11 va 6
BT(sgk 9 tập 2) bai41: Trong lúc họp nhóm,bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Mai mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5và tích của chúng bằng 150, vậy hai bạn Minh và Mai phải chọn những sồ nào
CÁC THÀNH VIÊN

Nguyễn Duy Tân
Nguyễn Mạnh Hùng
Trần Thi ̣ Nhung
Nguyễn Thi Thanh Nhung
Đỗ Thi Thơm
Triệu Hoài Nam