Chương III. §9. Tính chất ba đường cao của tam giác

A
.

B
C
Cho trước điểm A và đường thẳng d không qua A .
Hãy vẽ đoạn vuông góc AI kẻ từ A đến đường thẳng d.
Trên đường thẳng d lấy hai điểm B ,C sao cho BI = 4 cm , CI = 5 cm . Hãy so sánh AB và AC .
I
d
.
.
A
B
C
I
d
Ta có :
BI là hình chiếu của AB trên
đường thẳng d .
CI là hình chiếu của AC trên
đường thẳng d .
BI < CI (gt) nên AB < AC
(theo định lí về các đường
xiên và hình chiếu của chúng)
GT : AI là đoạn vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng d và BI < CI .
A
.
.
B
.
C
.
I
Trong thì AI còn được gọi là đường cao . Vậy một tam giác có mấy đường cao , chúng có tính chất gì ?
d
Tính chất ba đường cao của tam giác .
Hình học 7
A
B
C
1 . Đường cao của tam giác :
Trong tam giác , đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện của tam giác
gọi là đường cao của tam giác.

A
B
C
I
Trong hình bên , AI là một đường cao của
Ta còn nói AI là đường cao xuất phát từ đỉnh A (của )
Đôi khi ta cũng gọi đường thẳng AI là một đường cao của
Mỗi tam giác có ba đường cao .
Ta thấy hình như ba đường cao cùng đi qua một điểm .
Hãy vẽ ba đường cao của tam giác ABC trong các trường hợp sau
H
H
H trùng A
1 . Đường cao của tam giác :
I
K
L
I
I
K
L
A
B
C
A
B
C
A
B
C
H
H
trùng H
2 . Tính chất ba đường cao của tam giác .
Ba đường cao trong một tam giác cùng đi qua một điểm .
Định lí
Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác .
K
L
I
I
I
L
K
Trong các đường cao AI ,BK , CL cùng qua điểm H . H gọi là trực tâm của
Từ định lí ta có thể suy ra được :
Trong BK và CL là hai đường cao của tam giác , BK và CL cắt nhau tại H thì H là trực tâm
của nên AH BC
A
B
C
H
K
L
I
Bài 59 sgk
L
N
M
Q
P
S
a) Chứng minh NS LM .
b) Khi góc LNP = 500, hãy tính góc MSP và góc PSQ .
Bài 59 sgk
L
N
M
Q
P
S
a) Chứng minh NS LM .
Trong hai đường cao MQ và LP cắt nhau tại S
GT : LP MN , MQ LN
LP và MQ cắt nhau tại S
vậy NS nằm trên đường cao còn lại (do ba đường cao trong tam giác đồng qui ) .
Nên NS LM
Bài 59 sgk
L
N
M
Q
P
S
b) Khi góc LNP = 500, hãy tính góc MSP và góc PSQ .
Trong có + =900
Vậy = = 500 .
Ta có
+
= 1800
= 1800 -
= 1800 – 500= 1300
GT : LP MN , MQ LN
LP và MQ cắt nhau tại S
= 500
Trong có + =900
ôn lại các loại đường
đã học trong tam giác
2009-2ö
Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm .
2008-2009
Giao điểm của ba đường phân giác thì cách đều ba cạnh .
IM = IH = IK
2008-2009
Giao điểm của ba đường trung trực thì cách đều ba đỉnh .
OA = OB = OC
3 . Về các đường cao trung tuyến trung trực phân giác của tam giác cân
.
I
Cho tam giác ABC cân tại A , hãy vẽ đường trung trực d của cạnh đáy BC .
CM : d qua đỉnh A .
Hãy nhắc lại tính chất của đường
trung trực của đoạn thẳng .
A
B
C
Ta đã có giả thiết gì ?
.
I
A
B
C
M thuộc đường trung trực của đoạn PQ thì MP = MQ
Ngược lại , MP = MQ thì M thuộc đường trung trực của đoạn PQ .
GT : AB = AC , góc B bằng góc C
Ta có :
AB = AC (gt) nên A thuộc đường trung trực của đoạn BC ( theo tính chất đường trung trực )
Vậy d qua đỉnh A .
.
I
A
B
C
Đường trung trực d của đoạn BC qua đỉnh A .
AI còn là đường cao.
AI còn là đường trung tuyến .
AI còn là đường phân giác .
?
?
?
.
I
A
B
C
Tính chất tam giác cân
Trong một tam giác cân , đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác , đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó .
Tam giác ABC cân tại A , AI là đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác , đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó .
Nhận xét ( dấu hiệu nhận biết tam giác cân ) :
Trong một tam giác , nếu hai trong bốn loại đường (đường phân giác , đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện đỉnh này ) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân .
B
C
A
I
Nhận xét ( dấu hiệu nhận biết tam giác cân ) :
B
C
A
I
_ Đường trung trực và đường cao .
_ Đường trung trực và đường trung tuyến .
_ Đường trung trực và đường phân giác
_ Đường phân giác và đường trung tuyến .
_ Đường phân giác và đường cao .
_ Đường trung tuyến và đường cao .
AI là ( một trong các trường hợp sau )
Thì tam giác ABC cân tại A
Ta thấy đường trung trực qua đỉnh đã đủ để KL tam giác cân
_Đường trung trực
(Hay phát biểu : một tam giác có đường trung trực của một cạnh đi qua đỉnh đối diện thì tam giác đó cân .)
Trong tam giác đều ,trọng tâm , trực tâm , điểm cách đều ba đỉnh , điểm cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau .
Có thể xem tam giác đều là tam giác cân không ?
B
C
A
Ta có KL gì về giao điểm của bốn loại đường trong tam giác đều ?
Nhắc lại tên gọi và tính chất của giao điểm của các loại đường trong tam giác
Đường trung trực ?
Đường phân giác ?
Đường trung tuyến ?
Đường cao ?
Hướng dẫn về nhà
Nắm vững khái niệm và tính chất của bốn loại đường trong tam giác .
Làm các bài tập 61 , 62 trang 83 sgk và các bài tập ôn chương .