Chương III. §3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác

C
B
A
1.Bất đẳng thức tam giác:
Hãy thử vẽ một tam giác có các cạnh lần lượt là 1cm,2cm,4cm?
KHÔNG VẼ ĐƯỢC
Như vậy,không phải ba độ dài nào cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác.Ta có định lí sau:
Định lí
Trong một tam giác,tổng độ dai hai cạnh bất
kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại
Cho tam giác ABC,ta có các bất đẳng thức sau:
AC+BC>AB
AB+AC>BC
AB+BC>AC
Gỉa thuyết
Kết luận
Cho tam giác ABC
AB+AC>BC
AB+BC>AC
AC+BC>AB
Chứng minh:
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đấu tiên,hai bất đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự
D
Trên tia đối của tia AB,lấy điểm D sao cho AD=AC.
Do CA nằm giữa hai tia CB và AD nên

Mặt khác,tam giác ACD cân tại A nên
Trong tam giác BCD,từ (3) suy ra:
AB + AC = BD > BC
(theo định lí về quan hệ giữa góc và cạnh
đối diện)
Các bất đẳng thức trong kết luận của định lí được gọi là
các bất đẳng thức tam giác
2.Hệ quả của bất đẳng thức tam giác
Từ các bất đẳng thức tam giác ta suy ra:
AB > AC – BC
AB > BC – AC
AC > AB – BC
AC > BC – AB
BC > AB – AC
BC > AC – AB
Như vậy,từ định nghĩa trên ta có hệ quả sau:
Hệ quả:
Trong một tam giác,hiệu độ dài hai cạnh bất
kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại
Nhận xét:
Khi xét đồng thời tổng và hiệu độ dài hai cạnh của một tam giác thì quan hệ giũa các cạnh của nó được phát biểu như sau:
Trong một tam giác,độ dài một cạnh
bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn
tổng các Độ dài của hai cạnh còn lại
Chẳng hạn,trong tam giác ABC,với cạnh BC ta có
AB – AC GIẢI THÍCH:
Vì sao không có tam giác với ba cạnh có độ dài 1cm,2cm,4cm
Giả sử:
AB =1cm
AC =2cm
BC =4cm
AB + AC = 3cm (mâu thuẫn định lí)
Vậy không có tam giác với ba cạnh có độ dài 1cm,2cm,4cm.
Lưu ý:
Khi xét độ dài ba đoạn thẳng có thỏa mãnbất đẳng thức
tam giác hay không,ta chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với
tổng hai độ dài còn lại,hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với
hiệu hai độ dài còn lại.