Chương III. §3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác

Giáo viên dạy: Nguyễn Thanh Tùng
Môn: Toán 7
Nhiệt liệt chào mừng
Các Thầy Giáo, Cô Giáo
Về dự hội thi giáo viên giỏi
Năm học: 2007 - 2008
C
B
A
Hãy thử vẽ tam giác với các cạnh có độ dài: 1cm; 2cm; 4cm.
Em có vẽ được không?
Nhận xét: Không vẽ được tam giác có độ dài các cạnh như vậy
?1
Bài 3: quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác
1. Bất đẳng thức tam giác:
1 cm
2 cm
AB + BC > AC






















AB + AC > BC
AC + BC > AB
AB + BC > AC

Có nhận xét gì về độ dài đoạn AB + AC và độ dài đoạn BC ?
AB + AC > BC
AC + BC > AB
A
C
B
Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
*Định lí
Bài 3: quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác
1. Bất đẳng thức tam giác:
*Định lí : Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
GT
KL
ABC
AB+AC >BC AC+BC >AB
AB +BC >AC
Dựa vào hình 17, hãy viết giả thiết, kết luận của định lí.
?2
AB+AC >BC
AC+BC >AB
AB +BC >AC
ABC cã:
Bài 3: quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác
1. Bất đẳng thức tam giác:
B
A
C
D
Tương tự về nhà cm : AB + BC > AC
AC + BC > AB
B
A
C
D
Chứng minh :
Trên tia đối của tia AB, lấy điểm D sao cho AD = AC (h.18). Trong tam giác BCD , ta sẽ so sánh BD với BC.
Do tia CA nằm giữa hai tia CB và CD nên: BCD > ACD (1)
Mặt khác, theo cách dựng, tam giác ACD cân tại A nên:
ACD = ADC = BDC (2)

Từ (1) và (2) suy ra :
BCD > BDC (3)
Trong tam giác BDC , từ (3) suy ra :
AB + AC = BD > BC
(Theo định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác )
1. Bất đẳng thức tam giác:
Bài 3: quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác
Một cách chứng minh khác của định lí:
Chứng minh:
Giả sử BC là cạnh lớn nhất của tam giác. Từ A kẻ AH vuông góc với BC H nằm giữa B và C ? BH + HC = BC
?
Mà AB > BH và AC > HC (đường xiên lớn hơn đường vuông góc)
AB + AC > BH + HC
AB + AC > BC
Tương tự chứng minh AB + BC > AC
AC + BC > AB
Từ các bất đẳng thức tam giác hãy điền vào chỗ trống:
AB > ............ ; AC > ............ ; BC > .............
AB > ............ ; AC > ............ ; BC > .............
AB +AC >BC (1)
AC +BC >AB (2)
AB +BC >AC (3)
Bài tập :
AC - BC
BC - AC
AB - BC
BC - AB
AB - AC
AC -AB
Các bất đẳng thức trên là các bất đẳng thức tam giác
Bài 3: quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác
1. Bất đẳng thức tam giác:
ABC cã:
ABC có:
AC - BC < AB;
BC - AC < AB;
AB - BC < AC;
BC - AB < AC;
AB - AC < BC
AC - AB < BC
Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
Hệ quả:
2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác :
Bài tập.Dựa vào định lí và hệ quả trên hãy điền vào chỗ trống :

.............. < BC < ................;
.............. < AB < .................;
.............. < AC < .................;
AB - AC
AB + AC
BC - AC
BC + AC
BC - AB
BC + AB
............. < BC < ...............
............ < AC < ...............
AC -AB
AC -BC
.............< AB < ...............
AC + AB
AC + BC
AB +BC
AC -BC
A
B
(Hình 17)
C
AB +AC >BC (1)
AC +BC >AB (2)
AB +BC >AC (3)
Các bất đẳng thức trên là các bất đẳng thức tam giác
Bài 3: quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác
1. Bất đẳng thức tam giác:
ABC cã:
Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
Hệ quả:
2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác :
Ví dụ:
ABC với cạnh BC ta có:
AB - AC < BC < AB + AC .


Nhận xét:
Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.
AB +AC >BC (1)
AC +BC >AB (2)
AB +BC >AC (3)
Bài 3: quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác
1. Bất đẳng thức tam giác:
ABC cã:
A
B
(Hình 17)
C
2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác :
ABC với cạnh BC ta có:
AB - AC < BC < AB + AC .
Nhận xét:
?3
Em hãy giải thích vì sao không có tam giác với ba cạnh có độ dài 1cm; 2cm; 4cm.

Không có tam giác có độ dài các cạnh như vậy vì:
1cm +2cm < 4cm
Trả lời:
Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác.Trong những trường hợp còn lại, hãy thử dựng tam giác có độ dài ba cạnh như thế:
a) 2cm; 3cm; 6cm. b) 2cm; 4cm; 6cm. c) 3cm; 4cm; 6cm.
Hoạt động nhóm
Bài tập:
Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác.Trong những trường hợp còn lại, hãy thử dựng tam giác có độ dài ba cạnh như thế:
a) 2cm; 3cm; 6cm. b) 2cm; 4cm; 6cm. c) 3cm; 4cm; 6cm.
Hoạt động nhóm
a) Vì: 2cm + 3cm< 6 cm ? không thể là ba cạnh của một tam giác.
Trả lời:
b) Vì: 2cm + 4cm = 6cm ? không thể là ba cạnh của một tam giác.
c) Vì 3cm + 4cm > 6cm ?ba độ dài này có thể là ba cạnh của một tam giác.
3 cm
4 cm
6 cm
Bài tập:

Khi xét độ dài ba đoạn thẳng có thoả mãn bất đẳng thức tam giác hay không , ta chỉ cần so sánh độ dài đoạn dài nhất với tổng hai độ dài còn lại, hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu hai độ dài còn lại.
Lưu ý:

Bài tập 16: SGK trang 63
Cho tam giác ABC với hai cạnh BC = 1cm, AC = 7cm.
Hãy tìm độ dài cạnh AB, biết rằng độ dài cạnh này là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì?
Trả lời:
ABC có:
AC - BC < AB < AC + BC
7 - 1 < AB < 7 + 1
6 < AB < 8
mà độ dài AB là một số nguyên
? AB = 7 cm
? ABC là tam giác cân đỉnh A
Hướng dẫn về nhà:
- Nắm vững bất đẳng thức tam giác, học cách chứng minh định lý bất đẳng thức tam giác.
- Bài tập về nhà: Bài 17; 18; 19; 20 SGK trang 63, 64
- Tiết sau luyện tập
Bài tập.Dựa vào định lí và hệ quả trên hãy điền vào chỗ trống :

.............. < BC < ................;
.............. < AB < .................;
.............. < AC < .................;




AB - AC
AB + AC
BC - AC
BC + AC
BC - AB
BC + AB
............. < BC < ...............
............ < AC < ...............
AC -AB
AC -BC
.............< AB < ...............
AC + AB
AC + BC
AB +BC
AC -BC
Ví dụ:
ABC với cạnh BC ta có:
AB - AC < BC < AB + AC .



Nhận xét:
Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.