Chương III. §2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

chào mừng
Thi?t k? & th?c hi?n : Nguy?n Th? Huong
Trường THCS Minh Khai - TP Thanh Hoá
Các em học sinh lớp 7C; e
Kiểm tra:
A
d
H
B
Trong một bể bơi, hai bạn Hạnh và Bình cùng xuất phát từ A, Hạnh bơi tới điểm H, Bình bơi tới điểm B. Biết rằng H và B cùng thuộc đường thẳng d, AH vuông góc với d, AB không vuông góc với d.
Hỏi ai bơi xa hơn ? Giải thích?
Hãy phát biểu hai định lí về quan hệ giữa góc và cạnh trong một tam giác.
Đường vuông góc
Đường xiên
Hình chiếu của đường xiên AB
Chân đường vuông góc hay là hình chiếu của A
Tiết 49; 50: quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
1. Kh¸i niÖm ®­êng vu«ng gãc, ®­êng xiªn, h×nh chiÕu cña ®­êng xiªn.
d
A .
B
H
Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Điểm H gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
.
1. Kh¸i niÖm ®­êng vu«ng gãc, ®­êng xiªn, h×nh chiÕu cña ®­êng xiªn.
d
A .
B
H
Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thằng d.
Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.
.
?1 Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Hãy dùng êke để vẽ và tìm hình chiếu của điểm A trên d. Vẽ một đường xiên từ A đến d, tìm hình chiếu của đường xiên này trên d.
K
M
- Hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là điểm K
- Hình chiếu của đường xiên AM trên đường thẳng
d là đoạn thẳng KM
? So sánh đường vuông góc và các đường xiên
?2 Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, ta có thể kẻ được bao nhiêu đường vuông góc và bao nhiêu đường xiên đến đường thẳng d ?
…
…
H
B
C
D
E
F
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
kẻ từ một điểm
 2. Quan hÖ gi÷a ®­êng vu«ng gãc vµ ®­êng xiªn.
Định lí 1: (SGK)
A .
d
B
H
Gt
Kl
A d
AH: đường vuông góc
AB: đường xiên
AH < AB
Chứng minh:
AH < AB .
Xét tam giác ABH vuông tại H.
Theo nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông, Ta có: AH < AB.
* Độ dài đường vuông góc AH gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.
?3 Sử dụng định lí Py-ta –go để c/m
A .
d
B
H
Gt
Kl
A d
AH là đường vuông góc
AB là đường xiên
AH < AB
Chứng minh: AH < AB
Trong tam giác vuông AHB ( AHB = 900 )
Ta có: AB2 = AH2 + HB2 ( định lí Pytago )
AB2 > AH2
AB > AH.
?4 Cho hình 10.
Hãy sử dụng định lí Py - ta - go để suy ra rằng:
d
A
B
H
C
Hình 10
a./ Nếu HB > HC thì AB > AC
b./ Nếu AB > AC thì HB > HC
c./ Nếu HB = HC thì AB = AC
nếu AB = AC thì HB = HC
, và ngược lại,
d
A
B
H
C
Xét tam giác vuông AHB ta có:
AB2 = AH2 + HB2 ( định lí Py ta go) (1)
Xét tam giác vuông AHC ta có:
AC2 = AH2 + HC2 ( định lí Py ta go) (2)
Theo gỉa thiết ta có: HB > HC suy ra HB2 > HC2 (3)
AB2 > AC2
AB > AC
Chứng minh:
a./ Nếu HB > HC thì AB > AC
T? (1), (2), (3) suy ra
d
A
B
H
C
Chứng minh:
b./ Nếu AB > AC thì HB > HC
Theo giả thiết ta có: AB > AC suy ra AB2 > AC2 (3)
HB2 > HC2
HB > HC
Xét tam giác vuông AHB ta có:
AB2 = AH2 + HB2 ( định lí Py ta go) (1)
Xét tam giác vuông AHC ta có:
AC2 = AH2 + HC2 ( định lí Py ta go) (2)
T? (1), (2), (3) suy ra
d
A
B
H
C
Chứng minh:
c./ Nếu HB = HC thì AB = AC
Theo giả thiết ta có: HB = HC suy ra: HB2 = HC2 (3)
Xét tam giác vuông AHB ta có: AB2 = AH2 + HB2 ( định lí Py ta go) (1)
Xét tam giác vuông AHC ta có: AC2 = AH2 + HC2 ( định lí Py ta go) (2)
T? (1), (2), (3) suy ra AH2 +HB2 = AH2 + HC2
AB2 = AC2 AB = AC
Từ (1), (2), (3)
d
A
B
H
C
Chứng minh:
d./ Nếu AB = AC thì HB = HC
Theo giả thiết ta có: AB = AC suy ra: AB2 = AC2 (3)
Xét tam giác vuông AHB ta có: AB2 = AH2 + HB2 ( định lí Py ta go) (1)
Xét tam giác vuông AHC ta có: AC2 = AH2 + HC2 ( định lí Py ta go) (2)
T? (1), (2), (3) suy ra AH2 +HB2 = AH2 + HC2
HB2 = HC2 HB = HC
Từ (1), (2), (3)
Định lí 2:
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
a./ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
b./ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
c./ Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
? 3. Các đường xiên và hình chiếu của chúng.
m
S
A
K
B
C
P
1./ Cho hình vẽ sau, Hãy điền vào ô trống:
a) Đường vuông góc kẻ từ S tới đường thẳng m là ....
b) Đường xiên kẻ từ S tới đường thẳng m là .......
c) Hình chiếu của S trên m là .......
d) Hình chiếu của PA trên m là ......
Hình chiếu của SB trên m là ......
Hình chiếu của SC trên m là ......
SK
SA
K
AK
KB
KC
, SB
, SC
4. Bài tập:
m
S
A
K
B
C
P
Cho hình vẽ, Xét xem các câu sau đúng hay sai:
a./ SK < SB
b./ SA = SB
c./ AK = KB
a./ KC > KA
KA = KB
PA = SB
SC > SA
Đúng
Đúng
Đúng
Sai
Bài tập: Cho đường thẳng a và một điểm S không nằm trên đường thẳng a, kẻ SK vuông góc với a tại K. Trên đường thẳng a lấy điểm M không trùng với K.
a) Nêu tên đường vuông góc, đường xiên kẻ từ S đến a và hình chiếu của đường xiên tương ứng trên a.
b) Lấy điểm E nằm giữa S và K. Sử dụng định lí quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng để so sánh EM và SM.
c) Trên a lấy điểm N nằm giữa K và M. Chứng minh EN < SM
K
M
Bài tập: Cho đường thẳng a và một điểm S không nằm trên đường thẳng a, kẻ SK vuông góc với a tại K. Trên đường thẳng a lấy điểm M.
a) Nêu tên đường vuông góc, đường xiên kẻ từ S đến a và hình chiếu của đường xiên tương ứng trên a.
Ta có: KE < KS (vì E nằm giữa S và K)
b)Vì MK SK nên KE và KS là hai hình chiếu
của các đường xiên ME và MS kẻ từ M đến
đường thẳng SK
Bài giải:
Nên ME < MS (định lí 2)
N
c) Trên a lấy điểm N nằm giữa K và M. Chứng minh EN < SM
E
b) Lấy điểm E nằm giữa S và K. Sử dụng định lí quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng để so sánh EM và SM.
Bài tập: Cho đường thẳng a và một điểm S không nằm trên đường thẳng a, kẻ SK vuông góc với a tại K. Trên đường thẳng a lấy điểm M.
Bài 9-SGK/59
Để tập bơi nâng dần khoảng cách , hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn ơi đến C,…Hỏi rằng bạn Nam tập như vậy có đúng mục đích đề ra không (ngày hôm sau có bơi xa hơn ngày hôm trước hay không)? Vì sao?
C
Hướng dẫn học ở nhà:
a) Học thuộc các định lí về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu, chứng minh lại được các định lí đó.
b) Bài tập về nhà: - bài 10, 11, 12, 13, 14 / SGK.

Chúc các em học giỏi.