Chương III. §2. Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Phương trình bậc nhất một ẩn
Ví dụ 1 :
ax = b
(1)
-3x + 5 = 7
Ví dụ 2 :
-7x = 0
Ví dụ 3 :
Ví dụ 4 :
0x = 0
0 = 0 (hiển nhiên đúng)
Dạng tổng quát :
I. Các ví dụ :
→ Có nghiệm duy nhất
→ Có nghiệm duy nhất
→ Không có nghiệm (hay vô nghiệm)
→ Có vô số nghiệm
ax = b
Cụ thể, xét hệ số a trước x và hệ số tự do b với số 0 :
i. Trường hợp 1.1 :
a = 0 và b = 0
(1)
: Pt (1) ↔ 0.x = 0
Nhận xét , dù x thay đổi với bất kỳ giá trị nào ta thấy VT và VP luôn bằng nhau và cùng bằng 0. Nghĩa là (1) đúng.
→ pt (1) có vô số nghiệm x Є R
→ S = R
ii. Trường hợp 1.2 :
a = 0 và b ≠ 0
: Pt (1) ↔ 0.x = b
Nhận xét , dù x thay đổi với bất kỳ giá trị nào ta thấy VT = 0 còn VP luôn khác 0. Nghĩa là (1) luôn sai.
→ pt (1) có vô nghiệm
→ S = ɸ
iii. Trường hợp 2 :
a ≠ 0
→ pt (1) có nghiệm duy nhất :
Vậy :
II. Phương trình bậc nhất một ẩn :
Ví dụ : Giải và biện luận các phương trình sau :
a. (x+2)m + 3 = 3x + m
b. kx( x + k ) + 2k + 3 = k(x2 – 1) +kx
Giải :
a. (x+2)m + 3 = 3x + m
mx + 2m + 3 = 3x + m
mx – 3x = m – 2m – 3
(m – 3)x = –m – 3
(1)
Biện luận :
TH 1: m – 3 = 0 ↔ m = 3 → pt(1) trở thành : 0.x = – 6 (vô lý)
→ pt(1) vô nghiệm. Do đó , tập nghiệm S = Ф
TH 2: m – 3 ≠ 0 ↔ m ≠ 3 → pt(1) có nghiệm duy nhất :
Do đó , tập nghiệm là :
b. kx( x + k ) + 2k – 3 = k(x2 – 1) +kx
kx2 + k2x + 2k – 3 = kx2 – k + kx
k2x – kx = – k – 2k + 3
k(k – 1)x = – 3k + 3
k(k – 1)x = – 3(k – 1) (1)
Biện luận :
TH1: k(k – 1) = 0
*TH1.1: k = 0 → pt(1) trở thành : 0.x = –3(0 – 1) ↔ 0.x = 3
(vô lý)
→ pt(1) vô nghiệm . Do đó: S = Ф
*TH1.2: k = 1 → pt(1) trở thành : 0.x = 0 (luôn đúng VxЄR )
→ pt(1) có vô số nghiệm VxЄR. Do đó: S = R
TH2: k(k – 1) ≠ 0
→ pt(1) có nghiệm duy nhất :
Do đó , tập nghiệm là :
Bất phương trình bậc nhất một ẩn
i. ax > b
ii. ax < b
iv. ax ≤ b
iii. ax ≥ b
Xét cho ví dụ : i. ax > b
Trường hợp 1.1 :
a = 0 và b = 0
: Bpt (i) ↔ 0.x > 0
( vô lý)
Bpt (i) vô nghiệm
Trường hợp 1.2 :
a = 0 và b < 0
: Bpt (i) ↔ 0.x > b
( đúng) với mọi x
Bpt (i) có vô số nghiệm x
Trường hợp 1.3 :
a = 0 và b > 0
: Bpt (i) ↔ 0.x > b
( vô lý)
Bpt (i) vô nghiệm
Lưu ý: khi nhân hay chia hai vế của một bất pt với số âm thì bất pt sẽ đổi chiều.
Bpt (i)
Trường hợp 2 :
a < 0
Trường hợp 3 :
a > 0
Bpt (i)
Tương tự cho ii, iii, iv
Ví dụ : Giải và biện luận các bất phương trình sau :
(m + 1)x + (4 – 3x)m – 5 < m2 – 1
↔ mx + x + 4m – 3mx – 5 < m2 – 1
↔ x – 2mx < m2 – 4m + 4
↔ (1 – 2m)x < (m – 2)2 (1)
TH 1: 1 – 2m = 0
→ bpt(1) trở thành:
(luôn đúng VxЄR )
→ bpt(1) có vô số nghiệm VxЄR. Do đó: S = R
TH 2: 1 – 2m > 0
→ bpt(1) có nghiệm:
Giải:
→ Tập nghiệm của bpt(1) là:
TH 3: 1 – 2m < 0
→ bpt(1) có nghiệm:
→ Tập nghiệm của bpt(1) là:
Luyện tập :
Giải và biện luận các phương trình và bất phương trình sau :
1) 2 – m(x2 – 3) = m(m + x)(4 – x)
2) m2x + 3 + mx ≥ 4m – x(1 – m)
Bài tập : Làm các bài tập SGK
Thầy Tuấn, KP5 – F. TMT, Q.12 , TPHCM. ĐT : 0939.889.444