Chương I. §9. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

CHUYÊN ĐỀ
“KẾT HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ”
Người thực hiện:
Ngô Thị Lai
A. LÍ DO MỞ CHUYÊN ĐỀ
Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy khi đưa vào một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như: Ph­¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö ,ph­­¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö ,ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô, giúp học sinh có hứng thú giải nhiều bài toán khó và giải ở mức độ nhanh hơn. Đặc biệt còn làm tiền đề cho việc giải phương trình, bất phương trình nên tôi quyết định mở chuyên đề “kÕt hîp CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ”
B. NỘI DUNG
Phần I : Các phương pháp phân tích
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức :
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử :
4. Phương pháp tách hạng tử :
5. Phuong phỏp thờm b?t cựng m?t h?ng t?
6. Phuong phỏp d?t ?n ph?:
Phần II : Các bài tập áp dụng
Trình tù suy nghÜ khi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
Th­êng suy nghỉ theo trình tù sau :
B­íc 1: NghÜ ®Õn ®Æt nh©n tö chung hoÆc dïng h»ng ®¼ng thøc .
VD1: 3(x-y) + 5x(x-y) = (x-y)(3+5x)
VD2 : x2 - 4x + 4 = (x-2)2
B­íc 2: NghÜ ®Õn nhãm c¸c h¹ng tö .
VD3 : x2 -3x + xy-3y = (x2 -3x) + (xy-3y)
= x(x-3) + y(x-3) =(x-3)(x + y)
B­íc 3: NghÜ ®Õn c¸c ph­¬ng ph¸p ®Æc biÖt .
( Có thể kết hợp cùng một lúc nhiều phương pháp)
Phần I : Các phương pháp phân tích
da th?c th�nh nhõn t?
1/ Phương pháp đặt nhân tử chung
a. Các bước tiến hành :
Bước 1 : Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc .
Bước 2 : Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa thức phải phân tích cho nhân tử chung .
Bước 3: Trường hợp nếu không có nhân tử chung mà có nhân tử đối thỡ phải tiến hành đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung
b.Các ví dụ :
Phân tích đa thức thành nhân tử
VD1:P= -17x3y-34x2y2 +51xy3
P= 17xy(-x2-2xy +3y2)
VD2: Q= 16x2(x-y)-10y(y-x)
Q= 16x2(x-y)+10y(x-y)
Q= (x-y) (16x2 +10y )
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức :
(Dùng khi các hạng tử của đa thức cần phân tích có dạng hằng đẳng thức )
2.1 Học sinh cần nắm v?ng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ .
(A+B)2 =A2 + 2AB + B2
(A-B)2 =A2 - 2AB + B2
A2 -B2 =(A-B)(A+B)
(A+B)3 = A3 +3A2B +3AB2 +B3
(A-B)3 = A3 -3A2B +3AB2 - B3
A3 -B3 =(A- B)(A2 + AB + B2 )
A3 +B3 =(A+B)(A2 - AB + B2 )
Lưu ý thêm các hằng đẳng thức :
a. (A+B+C)2 = A2 +B2 +C2 +2AB +2BC +2CA).
b. An -Bn =(A- B)(An-1 + An-2 B + ...+Bn-1 )
c. 1-xn = (1-x)(1+x+x2 +... +xn-1 )
..........
Các ví dụ
Phân tích đa thức thành nhân tử:
VD1: P= (a2 +4)2 - 16a2
P= (a2 +4)2 - (4a)2 (A2 - B2)
P = (a2 +4 - 4a) (a2 +4 + 4a)
= (a - 2)2(a+ 2)2

VD2: Q = (x+y)2 + 2(x+y) +1
= (x+y + 1)2
VD3: R = a3 +6a2 +12a +8
= (a+2)3
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử :
Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức cần phân tích khi đa thức có nhân tử chung, hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức, ta tiến hành theo các bước sau :
Bước 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ ở từng nhóm .
Bước 2: Nhóm hạng tử để áp dụng phương pháp hằng đẳng thức và nhân tử chung cho từng nhóm .
Bước 3: Dặt nhân tử chung cho toàn đa thức .
Các ví dụ :
Phân tích đa thức thành nhân tử
VD1: P= ax +bx - ab - x2
P= (ax – ab) –(x2 -bx)
P= a(x –b) – x(x – b) = (x – b)(a – x)
VD2: Q= x2 - 2xy + y2 - 2x + 2y
Q= (x – y)2 - 2(x – y)
Q= (x – y)(x – y – 2)
4. Phương pháp tách hạng tử :
a/ Trường hợp đa thức dạng : ax2 +bx+c (a,b,c ? Z ; a,b,c ? 0)
*Nội dung :
Kiểm tra : b2 - 4ac :
Nếu b2 - 4ac < 0 : Da thức không phân tích được
Nếu b2 - 4ac = 0 : Da thức chuyển về dạng bỡnh phương của một nhị thức
Nếu b2 - 4ac > 0 : Dặt b2 - 4ac = k2 (k Q ), đa thức phân tích được trong tập hợp Q .
Khi b2 - 4ac k2 : đa thức phân tích đưược trong tập hợp R
cách làm :
Tỡm tích ac
Xem tích a.c = b1.b2 nào mà b1 + b2 = b .
Tách bx = b1x+ b2x ( Sau dú phân tích theo cách thông thường)
Phân tích đa thức thành nhân tử :
P = x2 - 6x + 8
= x2 -2x - 4x+8
= x(x-2) - 4(x-2)
= (x-2)(x-4)
Q = 3x2 +5x+2
= 3x2 +3x+2x+2
=3x(x+1)+2(x+1)
=(x + 1)(3x + 2)
Trường hợp đa thức từ bậc 3 trở lên
*Nội dung:
+ Nhẩm nghiệm của đa thức
Nếu tổng hệ số của các hạng tử bằng 0 thỡ đa thức có nghiệm bằng 1 .
Nếu tổng hệ số của các hạng tử bậc chẵn với hệ số đối của các hạng tử bậc lẻ bằng 0 thỡ đa thức có nghiệm bằng -1 .
+ Lưu ý định lý : ô � Nếu đa thức có nghiệm nguyên thỡ nghiệm nguyên đó phải là ước của hạng tử tự do .Nếu đa thức có nghiệm h?u tỷ p/q thỡ P là ước của hạng tử tự do, q là ước dương của hệ số hạng tử có bậc cao nhất�ằ.
Ví dụ
Phân tích đa thức : x3 +3x2 - 4 thành nhân tử
Giải
Cách 1 : x3 +3x2 - 4 = x3 -x2 +4x2 -4
Cách 2: x3 +3x2 - 4 = x3 - 1 +3x2 -3
Cách 3: T?ng h? s? 1+3-4 =0
Ta du?c: (x-1)(x2 + 4x +2)
Phân tích đa thức thành nhân tử
VD1:P= -17x3y-34x2y2 +51xy3
P= 17xy(-x2-2xy +3y2)
P= 17xy(-x2-xy +3xy+3y2)
P=17xy[(-x2- xy) +(3xy +3y2)]
P=17xy[-x(x +y) +3y(x +y)]
P=17xy(x +y)(-x +3y)
5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
* Néi dung :
Ph¶i thªm bít cïng mét h¹ng tö nµo ®ã ®Ó ®a thøc chuyÓn d¹ng hiÖu hai bình ph­¬ng , hoÆc ¸p dông ®­îc ph­¬ng ph¸p nhãm .
*C¸c vÝ dô :
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
P = x4 +4
= x4 +4+ 4x2 -4x2
= (x2 +2)2 - (2x)2
= (x2 +2-2x) ( x2 +2+2x)
Q = x2 -6x+8
= x2 -6x+8+1-1
= (x-3)2 - 12
= (x-3-1) (x-3+1)
= (x-4)(x-2)
6. Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô

*Nội dung :
Phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức phân tích để chọn và đặt ẩn phụ thích hợp.
* Ví dụ : Phân tích đa thức A thành nhân tử
A = (x2 + x)2 +4x2 +4x-12
= (x2 + x)2 + 4 (x2 + x )- 12
Dặt x2+x = X ta có A = X2 + 4X -12
=X2 + 4X+4 -16
= (X +2)2 - 42 = (X+6)(X-2)
Thay X = x2 + x vào ta có
A = (x2 +x +6)(x2 +x - 2) = (x2 + x+6) (x-1) (x+2)
Phần II : Các bài tập áp dụng
Phương pháp tách hạng tử :
Phân tích đa thức thành nhân tử :
P = x2 -7xy+12y2
= x2 -3xy - 4xy +12y2
= x(x - 3y)- 4y(x - 3y)
=(x - 3y)(x - 4y)
Q = x3 - 3x + 2
= x3 - 1 - 3x + 3
=(x-1)(x2+x+1)- 3(x-1)
= (x-1)(x2 + x-2)
Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử :
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
Q = x4 + 64
= x4 +16x2 + 64 -16x2
= (x2 + 8)2 -(4x)2
=(x2 +8- 4x)(x2 +8+4x)

R=x3 +3x2 - 4
R= x3 +3x2 - 4
= x3 –x2 +4x2 -4x+4x-4
=x2 (x-1)+4x(x-1)+4(x-1)
= (x-1) ( x2+4x+4)
= (x-1) (x+2)2
Phân tích đa thức
P=(x2+x)2 +3(x2+x)+2 thành nhân tử.
ĐÆt x2 +x = y ta cã
P = y2 +3y +2 = y2 +y+2y+2
P = y(y+1)+2(y+1)=(y+1)(y+2)
Thay y = x2 +x ta cã
P=(x2 +x+1)(x2 +x+2)
Phân tích đa thức
Q=x2+2xy+y2+3x+3y-10 thành nhân tử.
Giải
Q =(x+y)2 +3(x+y)-10
ĐÆt x+y = t ta cã
Q = t2 +3t-10 = t2 -2t+5t-10
= t(t-2)+5(t-2) = (t-2)(t+5)
Thay t = x+y ta ®­îc :
Q = ( x + y -2 )( x + y + 5)
C. K?T LU?N
Trên đây là một số kinh nghiệm của b?n thân qua thực tế gi?ng dạy Toán 8. Tuy nhiên không thể bao quát hết được tất c? nh?ng bài toán liên quan tới việc phân tích đa thức thành nhân tử trong các phạm vi rộng trong Toán Dại số THCS . Rất mong được sự cộng tác đóng góp ý kiến của quý thầy cụ để nõng cao chất luợng gi?ng dạy của giáo viên và chất lượng học tập của học sinh. Phát huy tối đa kh? nang tư duy vốn có của mỗi học sinh .
CHÚC QUÝ THẦY CÔ SỨC KHOẼ !
CHÚC CÁC EM HỌC SINH HỌC TỐT